Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 34, 44, 34, 49, 41.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 63.

μ = 60σ = 5x = 63

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,35, 0,2

Var(X) =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 20. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,9418. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9418

z =

6.Distribusi normalSulit

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Selang kepercayaanSedang

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 60 ponsel, rata-rata 100,5 h, simpangan baku diketahui 9 h. Model 2: 50 ponsel, rata-rata 90 h, simpangan baku diketahui 4 h. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 100,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 50x̄₂ = 90 hσ₂ = 4 h95%

batas bawah = h

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 21 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 1,7 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 20, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 9,591 dan 2,5% berada di atas 34,17.

n = 21s = 1,7 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 60 komponen memiliki rata-rata panjang 57 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 4 mm. Lini 2: sampel 50 komponen memiliki rata-rata 54,3 mm, simpangan baku diketahui 19 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 60x̄₁ = 57 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 50x̄₂ = 54,3 mmσ₂ = 19 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5? Simpangan bakunya 10. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 10E = 1,595%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 126Σy = 584Σx² = 2716Σy² = 59254Σxy = 12666

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 6,504

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 202/5 = 40,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−6,4)² + 3,6² + (−6,4)² + 8,6² + 0,6² = 169,2

Simpangan baku

s = √(169,2/4) = 6,504

Jawaban

s = 6,504

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 0,6

Standarkan

z = (63 − 60)/5 = 0,6

Jawaban

z = 0,6

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 3,76

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,15 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,2 = 3,2

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,2 = 14

Variansi

Var(X) = 14 − 3,2² = 3,76

Jawaban

Var(X) = 3,76

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 0,4023

Sebaran X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Perubahan linear

σ_Y = |0,5|·0,8047 = 0,4023

Jawaban

σ_Y = 0,4023

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·0,95 + 20 = 20,48.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −1,57

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,9418 = 0,0582

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,0582 di dalam tabel dan baca z.

z = −1,57

Jawaban

z = −1,57

6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8264

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm

Standarkan

z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94

Peluang

P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264

Jawaban

P = 0,8264

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 7,967 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 100,5 − 90 = 10,5

Galat baku

SE = √(9²/60 + 4²/50) = 1,292

Margin galat

E = 1,96·1,292 = 2,533

Selang

10,5 ± 2,533 → [7,967, 13,03]

Jawaban

batas bawah = 7,967 h

Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 1,301 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 20·1,7² = 57,8

Batas untuk σ²

57,8/34,17 = 1,692

57,8/9,591 = 6,026

Batas untuk σ

σ = √1,692 = 1,301 µm

Jawaban

σ = 1,301 µm

Selang 95% untuk σ: [1,301, 2,455] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 0,9868

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(4²/60 + 19²/50) = √7,487 = 2,736

Statistik uji

z = (57 − 54,3)/2,736 = 0,9868

Jawaban

z = 0,9868

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 171

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,96·10/1,5)² = 170,7

Bulatkan ke atas

n = 171

Jawaban

n = 171

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9785

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 12666 − 126·584/6 = 402

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 59254 − 584²/6 = 2411

Koefisien korelasi

r = 402/√(70·2411) = 0,9785

Jawaban

r = 0,9785

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 18,7

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 109/5 = 21,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

Garis regresi

b = 124/40 = 3,1

a = 21,8 − 3,1·6 = 3,2

ŷ = 3,2 + 3,1·x

Prediksi

ŷ = 3,2 + 3,1·5 = 18,7

Jawaban

ŷ = 18,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1