Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 10, 24, 44, 44, 58, 18, 20.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di bawah 50?
μ = 60σ = 20x = 50
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,2
σ =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 1. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,25, 0,1Y = 2X + 1
σY =
5.Distribusi normalSedang
Massa baut saling bebas dan normal dengan rata-rata 40 g dan simpangan baku 1,2 g. Cari peluang P bahwa massa total 10 di antaranya melebihi 398,1 g. Bulatkan z ke dua desimal.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 398,1 g
P =
6.Distribusi normalSulit
tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 80% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 178 cmσ = 7 cm80%
x = cm
7.Selang kepercayaanSedang
Tekanan darah 12 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 1,4 dan simpangan baku 6,4. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.
n = 12d̄ = 1,4sd = 6,499%t(11) = 3,106
E = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 9 petak, rata-rata hasil 20 kg, simpangan baku 6 kg. Kelompok petak 2: 5 petak, rata-rata 12 kg, simpangan baku 1,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 9x̄₁ = 20s₁ = 6n₂ = 5x̄₂ = 12s₂ = 1,599%t(12) = 3,055
batas bawah = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 73,7 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73,7s = 5n = 100
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 98 dari 150 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 62 dari 80 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 62n₂ = 80
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 6Σx = 42Σy = 509Σx² = 364Σy² = 45981Σxy = 4004
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (4, 44) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(4, 44)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 17,54
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 218/7 = 31,14
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−21,14)² + (−7,143)² + 12,86² + 12,86² + 26,86² + (−13,14)² + (−11,14)² = 1847
Simpangan baku
s = √(1847/6) = 17,54
Jawaban
s = 17,54
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,3085
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −0,5
Tabel normal baku
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Jawaban
P = 0,3085
3.Peluang
Jawaban: σ = 9,734
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,3 + 40·0,2 = 25,5
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,3 + 1600·0,2 = 745
Variansi
Var(X) = 745 − 25,5² = 94,75
σ = √94,75 = 9,734
Jawaban
σ = 9,734
4.Peluang
Jawaban: σY = 1,99
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,1, Var(X) = 0,99, σX = 0,995
Perubahan linear
σY = |2|·0,995 = 1,99
Jawaban
σY = 1,99
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·2,1 + 1 = 5,2.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,6915
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi total
μT = 400 g, σT = 1,2·√10 = 3,795 g
Standarkan
z = (398,1 − 400)/3,795 = −0,5
Peluang
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Jawaban
P = 0,6915
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 172,1 cm
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,2
z dari tabel
z ≈ −0,84
Kembali ke satuan semula
x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm
Jawaban
x = 172,1 cm
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 5,738 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai kritis
df = 11, t = 3,106
Margin galat
E = 3,106·6,4/√12 = 5,738
Jawaban
E = 5,738 mmHg
8.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = −0,4773 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (8·6² + 4·1,5²)/12 = 24,75
sp = 4,975
Margin galat
E = 3,055·4,975·√(1/9 + 1/5) = 8,477
Selang
8 ± 8,477 → [−0,4773, 16,48]
Jawaban
batas bawah = −0,4773 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −2,6
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5
Statistik uji
t = (73,7 − 75)/0,5 = −2,6
Jawaban
t = −2,6
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −1,91
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 98/150 = 0,6533
p̂₂ = 62/80 = 0,775
p̂ = 160/230 = 0,6957
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,6957·0,3043·(1/150 + 1/80)) = 0,0637
Statistik uji
z = (0,6533 − 0,775)/0,0637 = −1,91
Jawaban
z = −1,91
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,996
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 4004 − 42·509/6 = 441
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 45981 − 509²/6 = 2801
Koefisien korelasi
r = 441/√(70·2801) = 0,996
Jawaban
r = 0,996
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = −2,719
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 389/6 = 64,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 317
Garis regresi
b = 317/70 = 4,529
a = 64,83 − 4,529·8 = 28,6
ŷ = 28,6 + 4,529·x
Nilai prediksi
ŷ = 28,6 + 4,529·4 = 46,72
Residu
e = 44 − 46,72 = −2,719
Jawaban
e = −2,719
Titik terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1