Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 11, 10, 18, 52, 42.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 57,2?
μ = 50σ = 12x = 57,2
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2
Var(X) =
4.PeluangSulit
12 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,25. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 12p = 0,25
P =
5.Distribusi normalSedang
Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 55,5 dan 67,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 65σ = 10x1 = 55,5x2 = 67,5
P =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 30 ponsel, rata-rata 142,5 h, simpangan baku diketahui 20 h. Model 2: 60 ponsel, rata-rata 143 h, simpangan baku diketahui 12 h. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 142,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 60x̄₂ = 143 hσ₂ = 12 h95%
batas atas = h
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 22. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?
σ = 22E = 1,590%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 64 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 76,05 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 76,05s = 4n = 64
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 130 dari 200 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 108 dari 200 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 108n₂ = 200
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 5Σx = 25Σy = 394Σx² = 135Σy² = 31288Σxy = 2018
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (11, 121) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(11, 121)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 19,2
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 133/5 = 26,6
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−15,6)² + (−16,6)² + (−8,6)² + 25,4² + 15,4² = 1475
Simpangan baku
s = √(1475/4) = 19,2
Jawaban
s = 19,2
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,7257
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 0,6
Tabel normal baku
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Jawaban
P = 0,7257
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 4,96
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,3 + 2·0,2 + 4·0,3 + 6·0,2 = 2,8
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,2 + 16·0,3 + 36·0,2 = 12,8
Variansi
Var(X) = 12,8 − 2,8² = 4,96
Jawaban
Var(X) = 4,96
4.Peluang
Jawaban: P = 0,1584
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,7512 = 0,03168
P(X = 1) = 12·0,25·0,7511 = 0,1267
Jumlahkan
P = 0,03168 + 0,1267 = 0,1584
Jawaban
P = 0,1584
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,4277
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95
z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25
Luas di antara
P = Φ(0,25) − Φ(−0,95) = 0,5987 − 0,1711 = 0,4277
Jawaban
P = 0,4277
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9207
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm
Standarkan
z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41
Peluang
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Jawaban
P = 0,9207
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 7,274 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 142,5 − 143 = −0,5
Galat baku
SE = √(20²/30 + 12²/60) = 3,967
Margin galat
E = 1,96·3,967 = 7,774
Selang
−0,5 ± 7,774 → [−8,274, 7,274]
Jawaban
batas atas = 7,274 h
Selang memuat 0, jadi data tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 583
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,645·22/1,5)² = 582,1
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 583
Jawaban
n = 583
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 2,1
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5
Statistik uji
t = (76,05 − 75)/0,5 = 2,1
Jawaban
t = 2,1
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = 2,241
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 130/200 = 0,65
p̂₂ = 108/200 = 0,54
p̂ = 238/400 = 0,595
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,595·0,405·(1/200 + 1/200)) = 0,04909
Statistik uji
z = (0,65 − 0,54)/0,04909 = 2,241
Jawaban
z = 2,241
|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9782
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 2018 − 25·394/5 = 48
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 31288 − 394²/5 = 240,8
Koefisien korelasi
r = 48/√(10·240,8) = 0,9782
Jawaban
r = 0,9782
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 3,9
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 561/6 = 93,5
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 413
Garis regresi
b = 413/70 = 5,9
a = 93,5 − 5,9·7 = 52,2
ŷ = 52,2 + 5,9·x
Nilai prediksi
ŷ = 52,2 + 5,9·11 = 117,1
Residu
e = 121 − 117,1 = 3,9
Jawaban
e = 3,9
Titik terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1