Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 53, 41, 53, 28, 12.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15. Tentukan skor z z untuk nilai 118,8.

μ = 100σ = 15x = 118,8

z =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 5 orang dapat dipilih dari kelompok 9 orang? Urutan tidak penting.

n = 9k = 5

N =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €10 untuk dimainkan. Anda memenangkan €30 dengan peluang 0,2 dan €200 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €10€30: p = 0,2€200: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Massa kotak saling bebas dan normal dengan rata-rata 12 kg dan simpangan baku 0,8 kg. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya melebihi 187,2 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 16> 187,2 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 15 unit memiliki rata-rata 19 dan simpangan baku s = 6. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 15x̄ = 19s = 699%t(14) = 2,977

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 22. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5?

σ = 22E = 2,599%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 49 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 501,9 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,9s = 8n = 49

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 81 pengukuran memiliki rata-rata 501,9. Simpangan baku populasi 10. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 501,9σ = 10n = 8190%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 55?

n = 6ŷ = 55

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 17,56

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 187/5 = 37,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 15,6² + 3,6² + 15,6² + (−9,4)² + (−25,4)² = 1233

Simpangan baku

s = √(1233/4) = 17,56

Jawaban

s = 17,56

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 1,25

Standarkan

z = (118,8 − 100)/15 = 1,25

Jawaban

z = 1,25

3.Peluang

Jawaban: N = 126

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

Jawaban

N = 126

4.Peluang

Jawaban: E(G) = 6 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 20 (p = 0,2), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,75)

Nilai harapan

E(G) = 20·0,2 + 190·0,05 − 10·0,75 = 6 €

Jawaban

E(G) = 6 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9332

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 192 kg, σ_T = 0,8·√16 = 3,2 kg

Standarkan

z = (187,2 − 192)/3,2 = −1,5

Peluang

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 241,8 g

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Jawaban

x = 241,78 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 23,61

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Margin galat

E = 2,977·6/√15 = 4,612

Selang

19 ± 4,612 → [14,39, 23,61]

Jawaban

batas atas = 23,61

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 514

Selesaikan untuk n

n = (2,576·22/2,5)² = 513,9

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 514

Jawaban

n = 514

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,662

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Statistik uji

t = (501,9 − 500)/1,143 = 1,662

Jawaban

t = 1,662

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 503,7

Margin galat

E = 1,645·10/√81 = 1,828

Batas selang

U = 501,9 + 1,828 = 503,7

Jawaban

U = 503,7

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9197

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 256/5 = 51,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 282,8

Koefisien determinasi

r² = 102²/(40·282,8) = 0,9197

Jawaban

r² = 0,9197

Sekitar 91,97% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 7,315

Rata-rata

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 302/6 = 50,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

Garis regresi

b = 45/17,5 = 2,571

a = 50,33 − 2,571·5,5 = 36,19

ŷ = 36,19 + 2,571·x

Selesaikan untuk x

x = (55 − 36,19)/2,571 = 7,315

Jawaban

x = 7,315

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1