Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 44, 42, 33, 47, 36, 15, 24.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 12. Tentukan skor z z untuk nilai 90,4.
μ = 100σ = 12x = 90,4
z =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €1 untuk dimainkan. Anda memenangkan €5 dengan peluang 0,15 dan €20 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €1€5: p = 0,15€20: p = 0,05
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 50 dan 70,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 70,5
P =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,05 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata, berdasarkan 36 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 2,8. Berapa margin galat E₂ selang 90% dari data yang sama?
95%n₁ = 36E₁ = 2,890%
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 14. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?
σ = 14E = 595%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
10 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 6,64 dan simpangan baku selisihnya 10,5. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 6,64sd = 10,5
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 83 dari 150 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 78 dari 120 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 83n₁ = 150x₂ = 78n₂ = 120
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 11,53
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 241/7 = 34,43
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 9,571² + 7,571² + (−1,429)² + 12,57² + 1,571² + (−19,43)² + (−10,43)² = 797,7
Simpangan baku
s = √(797,7/6) = 11,53
Jawaban
s = 11,53
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −0,8
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (90,4 − 100)/12 = −0,8
Jawaban
z = −0,8
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 4,24
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,15 + 2·0,2 + 4·0,35 + 6·0,3 = 3,6
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,15 + 4·0,2 + 16·0,35 + 36·0,3 = 17,2
Variansi
Var(X) = 17,2 − 3,6² = 4,24
Jawaban
Var(X) = 4,24
4.Peluang
Jawaban: E(G) = 0,75 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 4 (p = 0,15), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)
Nilai harapan
E(G) = 4·0,15 + 19·0,05 − 1·0,8 = 0,75 €
Jawaban
E(G) = 0,75 €
Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,642
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5
z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55
Luas di antara
P = Φ(0,55) − Φ(−1,5) = 0,7088 − 0,06681 = 0,642
Jawaban
P = 0,642
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9616
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm
Standarkan
z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77
Peluang
P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616
Jawaban
P = 0,9616
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 2,35
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/36) = 0,8393
Margin baru
E₂ = 2,8·0,8393 = 2,35
Jawaban
E₂ = 2,35
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 31
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,96·14/5)² = 30,12
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 31
Jawaban
n = 31
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Galat baku rata-rata selisih
SE = 10,5/√10 = 3,32
Statistik uji
t = 6,64/3,32 = 2
Jawaban
t = 2
Dengan df = 9, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,262; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −1,609
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 83/150 = 0,5533
p̂₂ = 78/120 = 0,65
p̂ = 161/270 = 0,5963
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,5963·0,4037·(1/150 + 1/120)) = 0,06009
Statistik uji
z = (0,5533 − 0,65)/0,06009 = −1,609
Jawaban
z = −1,609
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,99
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 129/5 = 25,8
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
Syy = Σ(y − ȳ)² = 620,8
Koefisien korelasi
r = 156/√(40·620,8) = 0,99
Jawaban
r = 0,99
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 17,7
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Garis regresi
b = −26/10 = −2,6
a = 21,6 − (−2,6)·3 = 29,4
ŷ = 29,4 − 2,6·x
Prediksi
ŷ = 29,4 + (−2,6)·4,5 = 17,7
Jawaban
ŷ = 17,7
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1