Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 50, 41, 47, 20, 56, 44.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 62.

μ = 60σ = 5x = 62

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,2

Var(X) =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 10. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,2, 0,15, 0,1Y = −2X + 10

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 4 g; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 500 g dan simpangan baku 9 g. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 757,9 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757,9 g

P =

6.Distribusi normalSulit

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 75% data (persentil ke-75).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 20 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 3,8 dan simpangan baku 5,8. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.

n = 20d̄ = 3,8s_d = 5,899%t(19) = 2,861

batas bawah = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 30 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 4,4 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 29, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 16,047 dan 2,5% berada di atas 45,722.

n = 30s = 4,4 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 198,2 dan simpangan baku sampel 12. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,2s = 12n = 36

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 81 pengukuran memiliki rata-rata 503,5. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 503,5σ = 15n = 8190%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 61?

n = 5ŷ = 61

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,39

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 258/6 = 43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 7² + (−2)² + 4² + (−23)² + 13² + 1² = 768

Simpangan baku

s = √(768/5) = 12,39

Jawaban

s = 12,39

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 0,4

Standarkan

z = (62 − 60)/5 = 0,4

Jawaban

z = 0,4

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 4,19

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,25 + 6·0,2 = 2,9

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,25 + 36·0,2 = 12,6

Variansi

Var(X) = 12,6 − 2,9² = 4,19

Jawaban

Var(X) = 4,19

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 2,482

Sebaran X

μ = 1,6, Var(X) = 1,54, σ_X = 1,241

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1,241 = 2,482

Jawaban

σ_Y = 2,482

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·1,6 + 10 = 6,8.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,2119

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standarkan

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

Ekor atas

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Jawaban

P = 0,2119

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 110,1 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Kembali ke x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 poin

Jawaban

x = 110,12 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 0,08951 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 19, t = 2,861

Margin galat

E = 2,861·5,8/√20 = 3,71

Selang

3,8 ± 3,71 → [0,08951, 7,51]

Jawaban

batas bawah = 0,08951 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 5,915 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 29·4,4² = 561,4

Batas untuk σ²

561,4/45,722 = 12,28

561,4/16,047 = 34,99

Batas untuk σ

σ = √34,99 = 5,915 µm

Jawaban

σ = 5,915 µm

Selang 95% untuk σ: [3,504, 5,915] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −0,9

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statistik uji

t = (198,2 − 200)/2 = −0,9

Jawaban

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 506,2

Margin galat

E = 1,645·15/√81 = 2,742

Batas selang

U = 503,5 + 2,742 = 506,2

Jawaban

U = 506,2

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9873

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 789/6 = 131,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 874,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4982

Koefisien korelasi

r = 874,5/√(157,5·4982) = 0,9873

Jawaban

r = 0,9873

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 4,439

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 321/5 = 64,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

Garis regresi

b = 57/10 = 5,7

a = 64,2 − 5,7·5 = 35,7

ŷ = 35,7 + 5,7·x

Selesaikan untuk x

x = (61 − 35,7)/5,7 = 4,439

Jawaban

x = 4,439

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1