Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 59, 60, 23, 28, 33, 44, 29.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 82?
μ = 70σ = 12x = 82
P =
3.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 6 orang? Urutan tidak penting.
n = 6k = 4
N =
4.PeluangSulit
Sebuah tes memiliki 6 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,1, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 5 jawaban benar?
n = 6p = 0,1k = 5
P =
5.Distribusi normalSedang
Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 82,75 dan 107,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 100σ = 15x1 = 82,75x2 = 107,5
P =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,04 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata, berdasarkan 64 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 9,1. Berapa margin galat E₂ selang 95% berdasarkan 256 pengamatan?
99%n₁ = 64E₁ = 9,195%n₂ = 256
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 20. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 0,5?
σ = 20E = 0,595%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
16 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 9,27 dan simpangan baku selisihnya 10,9. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 9,27sd = 10,9
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 80 melawan H₁: μ < 80 dilakukan pada α = 0.05 dengan sampel berukuran 25; simpangan bakunya diketahui 5. Kenyataannya, rata-ratanya 77.9. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.
μ₀ = 80μ = 77,9σ = 5n = 25α = 0,05
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 20?
n = 6ŷ = 20
x =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 15,15
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 276/7 = 39,43
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 19,57² + 20,57² + (−16,43)² + (−11,43)² + (−6,429)² + 4,571² + (−10,43)² = 1378
Simpangan baku
s = √(1378/6) = 15,15
Jawaban
s = 15,15
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,8413
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 1
Tabel normal baku
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Jawaban
P = 0,8413
3.Peluang
Jawaban: N = 15
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Jawaban
N = 15
4.Peluang
Jawaban: P = 5,4 × 10⁻⁵
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rumus binomial
P(X = 5) = 6·0,15·0,91 = 6·1 × 10⁻⁵·0,9 = 5,4 × 10⁻⁵
Jawaban
P = 5,4 × 10⁻⁵
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,5664
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15
z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5
Luas di antara
P = Φ(0,5) − Φ(−1,15) = 0,6915 − 0,1251 = 0,5664
Jawaban
P = 0,5664
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9633
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm
Standarkan
z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79
Peluang
P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633
Jawaban
P = 0,9633
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 3,462
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/256) = 0,3804
Margin baru
E₂ = 9,1·0,3804 = 3,462
Jawaban
E₂ = 3,462
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 6147
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,96·20/0,5)² = 6147
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 6147
Jawaban
n = 6147
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 3,402
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Galat baku rata-rata selisih
SE = 10,9/√16 = 2,725
Statistik uji
t = 9,27/2,725 = 3,402
Jawaban
t = 3,402
Dengan df = 15, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,131; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: 1 − β = 67,54 %
Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Rata-rata sampel kritis
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 80 − 1,645·1 = 78,36
z menurut rata-rata sebenarnya
z = (78,36 − 77,9)/1 = 0,455
Daya
kuasa = P(Z < 0.455) = 67.54%
1 − β = 67,54%
Jawaban
1 − β = 67,54%
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9419
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 276/5 = 55,2
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94,8
Koefisien korelasi
r = 29/√(10·94,8) = 0,9419
Jawaban
r = 0,9419
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 7,254
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 116/6 = 19,33
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184
Garis regresi
b = 184/70 = 2,629
a = 19,33 − 2,629·7 = 0,9333
ŷ = 0,9333 + 2,629·x
Selesaikan untuk x
x = (20 − 0,9333)/2,629 = 7,254
Jawaban
x = 7,254
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1