Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
2025303540455055

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 41, 52, 42, 19, 58.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 50. Tentukan skor z z untuk nilai 475.

μ = 500σ = 50x = 475
z =
3.PeluangSedang
n = 15k = 4N = ?

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 15 orang? Urutan tidak penting.

n = 15k = 4
N =
4.PeluangSulit
€p(x)−30,8590,1570,05

Sebuah permainan berbiaya €3 untuk dimainkan. Anda memenangkan €12 dengan peluang 0,1 dan €60 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €3€12: p = 0,1€60: p = 0,05
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di sebelah kanan z = 0,9525

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,9525. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9525
z =
6.Distribusi normalSulit
380420460500540580620hbawah 90%

umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 90% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 500 hσ = 40 h90%
x = h
7.Selang kepercayaanSedang
n = 10, sd​ = 3,60LUd̄ = −6,8E = ?90%

Tekanan darah 10 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata −6,8 dan simpangan baku 3,6. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 10d̄ = −6,8sd = 3,690%t(9) = 1,833
E = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

Simpangan baku populasi adalah 29. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2?

σ = 29E = 299%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
2,4p = ?

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 250; simpangan baku populasinya diketahui 9. Sampel acak 36 pengamatan memiliki rata-rata 253,6. Uji H₀: μ = 250 melawan H₁: μ > 250. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 250σ = 9n = 36x̄ = 253,6H₁: μ > μ₀
p =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0,01βσ = 13, kuasa 90%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 4 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 13. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,01kuasa = 90%δ = 4σ = 13zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy2104126228241034xy510102030

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 102Σx² = 220Σy² = 2460Σxy = 732
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy1483605697759811185xy5106080x = 6

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (6, 74) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(6, 74)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,88

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 212/5 = 42,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−1,4)² + 9,6² + (−0,4)² + (−23,4)² + 15,6² = 885,2

Simpangan baku

s = √(885,2/4) = 14,88

Jawaban

s = 14,88
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,5

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (475 − 500)/50 = −0,5

Jawaban

z = −0,5
3.Peluang

Jawaban: N = 1365

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365

Jawaban

N = 1365
4.Peluang

Jawaban: E(G) = 1,2 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 9 (p = 0,1), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,85)

Nilai harapan

E(G) = 9·0,1 + 57·0,05 − 3·0,85 = 1,2 €

Jawaban

E(G) = 1,2 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −1,67

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,9525 = 0,0475

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,0475 di dalam tabel dan baca z.

z = −1,67

Jawaban

z = −1,67
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 551 h

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,9

z dari tabel

z ≈ 1,28

Kembali ke satuan semula

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Jawaban

x = 551 h
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,087 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 9, t = 1,833

Margin galat

E = 1,833·3,6/√10 = 2,087

Jawaban

E = 2,087 mmHg
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1396

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·29/2)² = 1395

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 1396

Jawaban

n = 1396
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,008198

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 9/√36 = 1,5
z = (253,6 − 250)/1,5 = 2,4

Luas ekor

Φ(2,4) = 0,9918
1 − Φ(2,4) = 0,0082

nilai p

p = 0,008198

Jawaban

p = 0,008198

p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 138

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2,326 + 1,282)·13/4)² = 137,5

Bulatkan ke atas

n = 138

Jawaban

n = 138
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9744

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 732 − 30·102/5 = 120
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2460 − 102²/5 = 379,2

Koefisien korelasi

r = 120/√(40·379,2) = 0,9744

Jawaban

r = 0,9744
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 4,333

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 418/6 = 69,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254

Garis regresi

b = 254/70 = 3,629
a = 69,67 − 3,629·6 = 47,9
ŷ = 47,9 + 3,629·x

Nilai prediksi

ŷ = 47,9 + 3,629·6 = 69,67

Residu

e = 74 − 69,67 = 4,333

Jawaban

e = 4,333

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1