Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 34, 56, 25, 46, 42, 23.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di bawah 56?
μ = 50σ = 10x = 56
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,3
σ =
4.PeluangSulit
Sebuah tes memiliki 6 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,25, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 5 jawaban benar?
n = 6p = 0,25k = 5
P =
5.Distribusi normalSedang
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 480 dan 532 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 500σ = 40x1 = 480x2 = 532
P =
6.Distribusi normalSulit
berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 25% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 90% untuk rata-rata, berdasarkan 50 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 3,5. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 100 pengamatan?
90%n₁ = 50E₁ = 3,5n₂ = 100
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 12. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 0,5?
σ = 12E = 0,599%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 77,1 dan simpangan baku sampel 10. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,1s = 10n = 100
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5? Simpangan bakunya 4. Tentukan ukuran sampel terkecil n.
σ = 4E = 2,590%
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 12,75
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 226/6 = 37,67
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−3,667)² + 18,33² + (−12,67)² + 8,333² + 4,333² + (−14,67)² = 813,3
Simpangan baku
s = √(813,3/5) = 12,75
Jawaban
s = 12,75
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,7257
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 0,6
Tabel normal baku
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Jawaban
P = 0,7257
3.Peluang
Jawaban: σ = 2,086
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,15 + 2·0,25 + 4·0,3 + 6·0,3 = 3,5
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,15 + 4·0,25 + 16·0,3 + 36·0,3 = 16,6
Variansi
Var(X) = 16,6 − 3,5² = 4,35
σ = √4,35 = 2,086
Jawaban
σ = 2,086
4.Peluang
Jawaban: P = 0,004395
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rumus binomial
P(X = 5) = 6·0,255·0,751 = 6·0,0009766·0,75 = 0,004395
Jawaban
P = 0,004395
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,4796
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5
z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8
Luas di antara
P = Φ(0,8) − Φ(−0,5) = 0,7881 − 0,3085 = 0,4796
Jawaban
P = 0,4796
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 246,7 g
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,25
z dari tabel
z ≈ −0,67
Kembali ke satuan semula
x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g
Jawaban
x = 246,7 g
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 2,475
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(50/100) = 0,7071
Margin baru
E₂ = 3,5·0,7071 = 2,475
Jawaban
E₂ = 2,475
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 3823
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2,576·12/0,5)² = 3822
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 3823
Jawaban
n = 3823
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 2,1
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Statistik uji
t = (77,1 − 75)/1 = 2,1
Jawaban
t = 2,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 7
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Selesaikan untuk n
n = (1,645·4/2,5)² = 6,927
Bulatkan ke atas
n = 7
Jawaban
n = 7
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = −0,9853
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 77/6 = 12,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 174,8
Koefisien korelasi
r = −54,5/√(17,5·174,8) = −0,9853
Jawaban
r = −0,9853
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 21,5
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 70/5 = 14
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Garis regresi
b = 100/40 = 2,5
a = 14 − 2,5·6 = −1
ŷ = −1 + 2,5·x
Prediksi
ŷ = −1 + 2,5·9 = 21,5
Jawaban
ŷ = 21,5
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1