Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 50, 14, 27, 18, 19, 23, 52.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 50. Tentukan skor z z untuk nilai 425.

μ = 500σ = 50x = 425

z =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 13 orang? Urutan tidak penting.

n = 13k = 3

N =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €5 untuk dimainkan. Anda memenangkan €10 dengan peluang 0,25 dan €250 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €5€10: p = 0,25€250: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 120 mm dan simpangan baku 0,3 mm; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 80 mm dan simpangan baku 0,4 mm. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 199,6 mm. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,6 mm

P =

6.Distribusi normalSulit

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 97,5% data (persentil ke-97,5).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 7 unit memiliki rata-rata 37,5 dan simpangan baku s = 18. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 7x̄ = 37,5s = 1890%t(6) = 1,943

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 21 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 6,1 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 20, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 9,591 dan 2,5% berada di atas 34,17.

n = 21s = 6,1 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 8 siswa, rata-rata nilai 115, simpangan baku 9. Kelompok 2: 6 siswa, rata-rata nilai 102,8, simpangan baku 10. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 8x̄₁ = 115s₁ = 9n₂ = 6x̄₂ = 102,8s₂ = 10

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 4 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 14. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,05kuasa = 80%δ = 4σ = 14z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 27Σy = 214Σx² = 139Σy² = 7720Σxy = 998

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (5,5, 59) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 59)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 15,58

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 203/7 = 29

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 21² + (−15)² + (−2)² + (−11)² + (−10)² + (−6)² + 23² = 1456

Simpangan baku

s = √(1456/6) = 15,58

Jawaban

s = 15,58

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1,5

Standarkan

z = (425 − 500)/50 = −1,5

Jawaban

z = −1,5

3.Peluang

Jawaban: N = 286

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

Jawaban

N = 286

4.Peluang

Jawaban: E(G) = 10 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 5 (p = 0,25), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,7)

Nilai harapan

E(G) = 5·0,25 + 245·0,05 − 5·0,7 = 10 €

Jawaban

E(G) = 10 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standarkan

z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 129,4 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Kembali ke x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 poin

Jawaban

x = 129,4 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 24,28

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Margin galat

E = 1,943·18/√7 = 13,22

Selang

37,5 ± 13,22 → [24,28, 50,72]

Jawaban

batas bawah = 24,28

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 4,667 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 20·6,1² = 744,2

Batas untuk σ²

744,2/34,17 = 21,78

744,2/9,591 = 77,59

Batas untuk σ

σ = √21,78 = 4,667 µm

Jawaban

σ = 4,667 µm

Selang 95% untuk σ: [4,667, 8,809] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,396

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

s_p² = (7·9² + 5·10²)/12 = 88,92

s_p = 9,43

Galat baku

SE = 9,43·√(1/8 + 1/6) = 5,093

Statistik uji

t = (115 − 102,8)/5,093 = 2,396

Jawaban

t = 2,396

Dengan df = 12, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,179; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 76

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1,645 + 0,842)·14/4)² = 75,77

Bulatkan ke atas

n = 76

Jawaban

n = 76

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,8953

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 998 − 27·214/6 = 35

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 7720 − 214²/6 = 87,33

Koefisien korelasi

r = 35/√(17,5·87,33) = 0,8953

Jawaban

r = 0,8953

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −1,5

Rata-rata

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 363/6 = 60,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88,5

Garis regresi

b = 88,5/17,5 = 5,057

a = 60,5 − 5,057·5,5 = 32,69

ŷ = 32,69 + 5,057·x

Nilai prediksi

ŷ = 32,69 + 5,057·5,5 = 60,5

Residu

e = 59 − 60,5 = −1,5

Jawaban

e = −1,5

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1