Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 47, 49, 30, 57, 17, 20, 22.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 53,6.
μ = 60σ = 8x = 53,6
z =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,3, 0,25
σ =
4.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €1 untuk dimainkan. Anda memenangkan €2 dengan peluang 0,15 dan €50 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €1€2: p = 0,15€50: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 76,75 dan 115 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 100σ = 15x1 = 76,75x2 = 115
P =
6.Distribusi normalSulit
nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 60% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 65 poinσ = 10 poin60%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 90% untuk rata-rata, berdasarkan 64 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 5,1. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 16 pengamatan?
90%n₁ = 64E₁ = 5,1n₂ = 16
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Diameter 30 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 1 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 29, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 16,047 dan 2,5% berada di atas 45,722.
n = 30s = 1 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 50; simpangan baku populasinya diketahui 20. Sampel acak 64 pengamatan memiliki rata-rata 46,8. Uji H₀: μ = 50 melawan H₁: μ < 50. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 50σ = 20n = 64x̄ = 46,8H₁: μ < μ₀
p =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 4 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 18. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,01kuasa = 90%δ = 4σ = 18zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 20?
n = 6ŷ = 20
x =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 16,15
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 242/7 = 34,57
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 12,43² + 14,43² + (−4,571)² + 22,43² + (−17,57)² + (−14,57)² + (−12,57)² = 1566
Simpangan baku
s = √(1566/6) = 16,15
Jawaban
s = 16,15
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −0,8
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (53,6 − 60)/8 = −0,8
Jawaban
z = −0,8
3.Peluang
Jawaban: σ = 1,908
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,1 + 2·0,35 + 4·0,3 + 6·0,25 = 3,4
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,1 + 4·0,35 + 16·0,3 + 36·0,25 = 15,2
Variansi
Var(X) = 15,2 − 3,4² = 3,64
σ = √3,64 = 1,908
Jawaban
σ = 1,908
4.Peluang
Jawaban: E(G) = −0,2 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 1 (p = 0,15), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,84)
Nilai harapan
E(G) = 1·0,15 + 49·0,01 − 1·0,84 = −0,2 €
Jawaban
E(G) = −0,2 €
Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7808
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55
z₂ = (115 − 100)/15 = 1
Luas di antara
P = Φ(1) − Φ(−1,55) = 0,8413 − 0,06057 = 0,7808
Jawaban
P = 0,7808
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 67,5 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,6
z dari tabel
z ≈ 0,25
Kembali ke satuan semula
x = 65 + 0,25·10 = 67,5 poin
Jawaban
x = 67,5 poin
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 10,2
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/16) = 2
Margin baru
E₂ = 5,1·2 = 10,2
Jawaban
E₂ = 10,2
8.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 0,7964 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 29·1² = 29
Batas untuk σ²
29/45,722 = 0,6343
29/16,047 = 1,807
Batas untuk σ
σ = √0,6343 = 0,7964 µm
Jawaban
σ = 0,7964 µm
Selang 95% untuk σ: [0,7964, 1,344] µm.
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,1003
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5
z = (46,8 − 50)/2,5 = −1,28
Luas ekor
Φ(1,28) = 0,8997
1 − Φ(1,28) = 0,1003
nilai p
p = 0,1003
Jawaban
p = 0,1003
p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 264
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2,326 + 1,282)·18/4)² = 263,6
Bulatkan ke atas
n = 264
Jawaban
n = 264
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9716
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 767/6 = 127,8
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 850,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4727
Koefisien determinasi
r² = 850,5²/(157,5·4727) = 0,9716
Jawaban
r² = 0,9716
Sekitar 97,16% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 4,472
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 130/6 = 21,67
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Garis regresi
b = −30/17,5 = −1,714
a = 21,67 − (−1,714)·3,5 = 27,67
ŷ = 27,67 − 1,714·x
Selesaikan untuk x
x = (20 − 27,67)/(−1,714) = 4,472
Jawaban
x = 4,472
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1