Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
152025303540

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 17, 35, 38, 12, 20, 44.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 25. Tentukan skor z z untuk nilai 480.

μ = 500σ = 25x = 480
z =
3.PeluangSedang
merah: 5biru: 5

Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

5 / 5
P =
4.PeluangSulit
xp(x)00,210,220,2530,35μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 1. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,35Y = 10X + 1
σY =
5.Distribusi normalSedang
400 kg402 kgT = X₁ + … + X₁₆?

Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya di bawah 402 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16< 402 kg
P =
6.Distribusi normalSulit
0,02 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
x̄E₁ = 9,995%, n = 64x̄E₂ = ?99%, n = 16

Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata, berdasarkan 64 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 9,9. Berapa margin galat E₂ selang 99% berdasarkan 16 pengamatan?

95%n₁ = 64E₁ = 9,999%n₂ = 16
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

Simpangan baku populasi adalah 14. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2?

σ = 14E = 299%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,0302,03

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 497,8 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,8s = 5n = 36
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,01βσ = 14, kuasa 80%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 5 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 14. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,01kuasa = 80%δ = 5σ = 14zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy15431755196821732391xy1520406080

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 95Σy = 330Σx² = 1845Σy² = 23108Σxy = 6498
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy21041362082710341244xy5102040x = 11

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (11, 42) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(11, 42)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 166/6 = 27,67

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−10,67)² + 7,333² + 10,33² + (−15,67)² + (−7,667)² + 16,33² = 845,3

Simpangan baku

s = √(845,3/5) = 13

Jawaban

s = 13
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,8

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (480 − 500)/25 = −0,8

Jawaban

z = −0,8
3.Peluang

Jawaban: P = 0,2222

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222

Jawaban

P = 0,2222
4.Peluang

Jawaban: σY = 11,35

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1,75, Var(X) = 1,288, σX = 1,135

Perubahan linear

σY = |10|·1,135 = 11,35

Jawaban

σY = 11,35

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·1,75 + 1 = 18,5.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 400 kg, σT = 0,5·√16 = 2 kg

Standarkan

z = (402 − 400)/2 = 1

Peluang

P = Φ(1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7611

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

Standarkan

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

Peluang

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

Jawaban

P = 0,7611
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E₂ = 26,02

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(64/16) = 2,629

Margin baru

E₂ = 9,9·2,629 = 26,02

Jawaban

E₂ = 26,02
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 326

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·14/2)² = 325,2

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 326

Jawaban

n = 326
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,64

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Statistik uji

t = (497,8 − 500)/0,8333 = −2,64

Jawaban

t = −2,64
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 79

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2,326 + 0,842)·14/5)² = 78,68

Bulatkan ke atas

n = 79

Jawaban

n = 79
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9892

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 6498 − 95·330/5 = 228
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 23108 − 330²/5 = 1328

Koefisien korelasi

r = 228/√(40·1328) = 0,9892

Jawaban

r = 0,9892
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 3,619

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 148/6 = 24,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

Garis regresi

b = 240/70 = 3,429
a = 24,67 − 3,429·7 = 0,6667
ŷ = 0,6667 + 3,429·x

Nilai prediksi

ŷ = 0,6667 + 3,429·11 = 38,38

Residu

e = 42 − 38,38 = 3,619

Jawaban

e = 3,619

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1