Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
2530354045505560

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 27, 60, 60, 38, 25, 47.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 15. Tentukan skor z z untuk nilai 62,5.

μ = 70σ = 15x = 62,5
z =
3.PeluangSedang
P(paling sedikit satu enam) = ??1?2?3?4?5P(enam) = 1/6 pada setiap lemparan

Sebuah dadu adil dilempar 5 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 5
P =
4.PeluangSulit
xp(x)00,310,3520,35μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 5. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 2X + 5
σY =
5.Distribusi normalSedang
480 g473,8 gT = X₁ + … + X₁₂?

Massa baut saling bebas dan normal dengan rata-rata 40 g dan simpangan baku 1,2 g. Cari peluang P bahwa massa total 12 di antaranya di bawah 473,8 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12< 473.8 g
P =
6.Distribusi normalSulit
μ = 100x = ?25%

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 25% data (persentil ke-25).

μ = 100σ = 15P = 25%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 30 ponsel, rata-rata 88,5 h, simpangan baku diketahui 15 h. Model 2: 40 ponsel, rata-rata 80 h, simpangan baku diketahui 19 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 88,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 40x̄₂ = 80 hσ₂ = 19 h95%
E = h
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

Simpangan baku populasi adalah 39. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 4?

σ = 39E = 499%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−1,961,96z = ?

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 60 komponen memiliki rata-rata panjang 60,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 18 mm. Lini 2: sampel 50 komponen memiliki rata-rata 55,3 mm, simpangan baku diketahui 12 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 60x̄₁ = 60,5 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 50x̄₂ = 55,3 mmσ₂ = 12 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
−1,961,96z = ?

Dalam suatu uji klinis, 88 dari 250 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 35 dari 80 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 35n₂ = 80
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy3655797879991111213128xy5106080100120

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 48Σy = 570Σx² = 454Σy² = 56764Σxy = 4986
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy126224319417515xy24152025x = 3,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 23) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 23)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 15,48

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 257/6 = 42,83

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−15,83)² + 17,17² + 17,17² + (−4,833)² + (−17,83)² + 4,167² = 1199

Simpangan baku

s = √(1199/5) = 15,48

Jawaban

s = 15,48
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,5

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (62,5 − 70)/15 = −0,5

Jawaban

z = −0,5
3.Peluang

Jawaban: P = 0,5981

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Jawaban

P = 0,5981
4.Peluang

Jawaban: σY = 1,609

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047

Perubahan linear

σY = |2|·0,8047 = 1,609

Jawaban

σY = 1,609

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·1,05 + 5 = 7,1.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,06811

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 480 g, σT = 1,2·√12 = 4,157 g

Standarkan

z = (473,8 − 480)/4,157 = −1,49

Peluang

P = Φ(−1,49) = 0,06811

Jawaban

P = 0,06811
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 89,88 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Kembali ke x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 poin

Jawaban

x = 89,88 poin
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 7,968 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 88,5 − 80 = 8,5

Galat baku

SE = √(15²/30 + 19²/40) = 4,065

Margin galat

E = 1,96·4,065 = 7,968

Jawaban

E = 7,968 h

Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 631

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·39/4)² = 630,8

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 631

Jawaban

n = 631
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 1,807

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(18²/60 + 12²/50) = √8,28 = 2,877

Statistik uji

z = (60,5 − 55,3)/2,877 = 1,807

Jawaban

z = 1,807

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −1,377

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporsi sampel

p̂₁ = 88/250 = 0,352
p̂₂ = 35/80 = 0,4375
p̂ = 123/330 = 0,3727

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,3727·0,6273·(1/250 + 1/80)) = 0,06211

Statistik uji

z = (0,352 − 0,4375)/0,06211 = −1,377

Jawaban

z = −1,377

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9959

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 4986 − 48·570/6 = 426
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 56764 − 570²/6 = 2614

Koefisien korelasi

r = 426/√(70·2614) = 0,9959

Jawaban

r = 0,9959
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 4,25

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Garis regresi

b = −29/10 = −2,9
a = 20,2 − (−2,9)·3 = 28,9
ŷ = 28,9 − 2,9·x

Nilai prediksi

ŷ = 28,9 + (−2,9)·3,5 = 18,75

Residu

e = 23 − 18,75 = 4,25

Jawaban

e = 4,25

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1