Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 20, 32, 17, 35, 34, 20.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di atas 177,5?

μ = 170σ = 5x = 177,5

P =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 6 bola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

6 / 4

P =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 20. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 2X + 20

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,0244. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,0244

z =

6.Distribusi normalSulit

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 10% data (persentil ke-10).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 6 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata −8,3 dan simpangan baku 6,3. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata selisih.

n = 6d̄ = −8,3s_d = 6,395%t(5) = 2,571

batas atas = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 10 petak, rata-rata hasil 70,5 kg, simpangan baku 9,5 kg. Kelompok petak 2: 21 petak, rata-rata 73 kg, simpangan baku 3 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 70,5s₁ = 9,5n₂ = 21x̄₂ = 73s₂ = 399%t(29) = 2,756

batas atas = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 120,3 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 120,3s = 4n = 81

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 120 dari 200 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 52 dari 100 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 52n₂ = 100

z =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 22.

n = 5x = 22

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 8,165

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 158/6 = 26,33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−6,333)² + 5,667² + (−9,333)² + 8,667² + 7,667² + (−6,333)² = 333,3

Simpangan baku

s = √(333,3/5) = 8,165

Jawaban

s = 8,165

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,06681

Standarkan

z = 1,5

Tabel normal baku

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Jawaban

P = 0,06681

3.Peluang

Jawaban: P = 0,3333

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333

Jawaban

P = 0,3333

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 1,673

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Perubahan linear

σ_Y = |2|·0,8367 = 1,673

Jawaban

σ_Y = 1,673

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·1 + 20 = 22.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,97

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,0244 = 0,9756

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9756 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,97

Jawaban

z = 1,97

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 52,18 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Kembali ke x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 poin

Jawaban

x = 52,18 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = −1,687 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 5, t = 2,571

Margin galat

E = 2,571·6,3/√6 = 6,613

Selang

−8,3 ± 6,613 → [−14,91, −1,687]

Jawaban

batas atas = −1,687 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 3,694 kg

Simpangan baku gabungan

s_p² = (9·9,5² + 20·3²)/29 = 34,22

s_p = 5,849

Margin galat

E = 2,756·5,849·√(1/10 + 1/21) = 6,194

Selang

−2,5 ± 6,194 → [−8,694, 3,694]

Jawaban

batas atas = 3,694 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 0,675

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Statistik uji

t = (120,3 − 120)/0,4444 = 0,675

Jawaban

t = 0,675

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 1,321

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporsi sampel

p̂₁ = 120/200 = 0,6

p̂₂ = 52/100 = 0,52

p̂ = 172/300 = 0,5733

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,5733·0,4267·(1/200 + 1/100)) = 0,06058

Statistik uji

z = (0,6 − 0,52)/0,06058 = 1,321

Jawaban

z = 1,321

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9655

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 84/6 = 14

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 290

Koefisien determinasi

r² = 140²/(70·290) = 0,9655

Jawaban

r² = 0,9655

Sekitar 96,55% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 98,4

Rata-rata

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 399/5 = 79,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

Garis regresi

b = 248/40 = 6,2

a = 79,8 − 6,2·19 = −38

ŷ = −38 + 6,2·x

Prediksi

ŷ = −38 + 6,2·22 = 98,4

Jawaban

ŷ = 98,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1