Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 20, 43, 47, 24, 34.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 82?

μ = 70σ = 12x = 82

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35

σ =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 1. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 10X + 1

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,6664. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,6664

z =

6.Distribusi normalSulit

Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 19,5 dan simpangan baku s = 10,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 21x̄ = 19,5s = 10,590%t(20) = 1,725

E =

8.Selang kepercayaanSulit

Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,1 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 99% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,03?

p ≈ 0,1E = 0,0399%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 97,84 dan simpangan baku sampel 12. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,84s = 12n = 100

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 25 pengukuran memiliki rata-rata 123,6. Simpangan baku populasi 12. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 123,6σ = 12n = 2590%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 24.

n = 5x = 24

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 11,67

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 168/5 = 33,6

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−13,6)² + 9,4² + 13,4² + (−9,6)² + 0,4² = 545,2

Simpangan baku

s = √(545,2/4) = 11,67

Jawaban

s = 11,67

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8413

Standarkan

z = 1

Tabel normal baku

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

3.Peluang

Jawaban: σ = 1,108

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,35 + 4·0,35 = 2,85

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,35 + 16·0,35 = 9,35

Variansi

Var(X) = 9,35 − 2,85² = 1,228

σ = √1,228 = 1,108

Jawaban

σ = 1,108

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 8,047

Sebaran X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Perubahan linear

σ_Y = |10|·0,8047 = 8,047

Jawaban

σ_Y = 8,047

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·1,05 + 1 = 11,5.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −0,43

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,6664 = 0,3336

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,3336 di dalam tabel dan baca z.

z = −0,43

Jawaban

z = −0,43

6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standarkan

z = (0 − 10)/10 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 3,952

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margin galat

E = 1,725·10,5/√21 = 3,952

Jawaban

E = 3,952

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2,576²·0,1·0,9/0,03² = 663,6

Bulatkan ke atas

n = 664

Jawaban

n = 664

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Statistik uji

t = (97,84 − 100)/1,2 = −1,8

Jawaban

t = −1,8

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 119,7

Margin galat

E = 1,645·12/√25 = 3,948

Batas selang

L = 123,6 − 3,948 = 119,7

Jawaban

L = 119,7

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,8725

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 229/5 = 45,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 220,8

Koefisien korelasi

r = 82/√(40·220,8) = 0,8725

Jawaban

r = 0,8725

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 134,6

Rata-rata

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 601/5 = 120,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Garis regresi

b = 192/40 = 4,8

a = 120,2 − 4,8·21 = 19,4

ŷ = 19,4 + 4,8·x

Prediksi

ŷ = 19,4 + 4,8·24 = 134,6

Jawaban

ŷ = 134,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1