Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 28, 24, 37, 40, 43, 31, 52.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 10. Tentukan skor z z untuk nilai 55.
μ = 70σ = 10x = 55
z =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,35, 0,2, 0,25
Var(X) =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X − 3. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,35, 0,25, 0,05Y = −2X − 3
σY =
5.Distribusi normalSedang
Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 49,5 dan 67 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 65σ = 10x1 = 49,5x2 = 67
P =
6.Distribusi normalSulit
berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 30% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata, berdasarkan 25 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 2,2. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 100 pengamatan?
95%n₁ = 25E₁ = 2,2n₂ = 100
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Diameter 20 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 10,3 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 19, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 8,907 dan 2,5% berada di atas 32,852.
n = 20s = 10,3 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
12 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 1,61 dan simpangan baku selisihnya 4,3. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 1,61sd = 4,3
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 81 pengukuran memiliki rata-rata 119,6. Simpangan baku populasi 4. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
x̄ = 119,6σ = 4n = 8190%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 12?
n = 5ŷ = 12
x =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 9,607
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 255/7 = 36,43
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−8,429)² + (−12,43)² + 0,5714² + 3,571² + 6,571² + (−5,429)² + 15,57² = 553,7
Simpangan baku
s = √(553,7/6) = 9,607
Jawaban
s = 9,607
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −1,5
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (55 − 70)/10 = −1,5
Jawaban
z = −1,5
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 115
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 10·0,2 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,25 = 25
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 100·0,2 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,25 = 740
Variansi
Var(X) = 740 − 25² = 115
Jawaban
Var(X) = 115
4.Peluang
Jawaban: σY = 3,578
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2, Var(X) = 3,2, σX = 1,789
Perubahan linear
σY = |−2|·1,789 = 3,578
Jawaban
σY = 3,578
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·2 − 3 = −7.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,5187
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (49,5 − 65)/10 = −1,55
z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2
Luas di antara
P = Φ(0,2) − Φ(−1,55) = 0,5793 − 0,06057 = 0,5187
Jawaban
P = 0,5187
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 252,6 g
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,7
z dari tabel
z ≈ 0,52
Kembali ke satuan semula
x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g
Jawaban
x = 252,6 g
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 1,1
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(25/100) = 0,5
Margin baru
E₂ = 2,2·0,5 = 1,1
Jawaban
E₂ = 1,1
8.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 15,04 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 19·10,3² = 2016
Batas untuk σ²
2016/32,852 = 61,36
2016/8,907 = 226,3
Batas untuk σ
σ = √226,3 = 15,04 µm
Jawaban
σ = 15,04 µm
Selang 95% untuk σ: [7,833, 15,04] µm.
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 1,297
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Galat baku rata-rata selisih
SE = 4,3/√12 = 1,241
Statistik uji
t = 1,61/1,241 = 1,297
Jawaban
t = 1,297
Dengan df = 11, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,201; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: U = 120,3
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,645·4/√81 = 0,7311
Batas selang
U = 119,6 + 0,7311 = 120,3
Jawaban
U = 120,3
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9449
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 446/6 = 74,33
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
Syy = Σ(y − ȳ)² = 473,3
Koefisien korelasi
r = 172/√(70·473,3) = 0,9449
Jawaban
r = 0,9449
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 3,091
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 108/5 = 21,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132
Garis regresi
b = 132/40 = 3,3
a = 21,6 − 3,3·6 = 1,8
ŷ = 1,8 + 3,3·x
Selesaikan untuk x
x = (12 − 1,8)/3,3 = 3,091
Jawaban
x = 3,091
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1