Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 22, 16, 45, 13, 32.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di atas 104,8?

μ = 100σ = 8x = 104,8

P =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 15 orang? Urutan tidak penting.

n = 15k = 3

N =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 6 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,7, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?

n = 6p = 0,7k = 4

P =

5.Distribusi normalSedang

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 470 dan 508 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 470x₂ = 508

P =

6.Distribusi normalSulit

umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 25% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 12 unit memiliki rata-rata 106,5 dan simpangan baku s = 4,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 12x̄ = 106,5s = 4,595%t(11) = 2,201

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 26 petak, rata-rata hasil 94 kg, simpangan baku 6 kg. Kelompok petak 2: 5 petak, rata-rata 84,5 kg, simpangan baku 1,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 26x̄₁ = 94s₁ = 6n₂ = 5x̄₂ = 84,5s₂ = 1,599%t(29) = 2,756

E = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 498,2 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,2s = 5n = 36

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 100,2. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 100,2σ = 8n = 6499%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,05

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 128/5 = 25,6

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−3,6)² + (−9,6)² + 19,4² + (−12,6)² + 6,4² = 681,2

Simpangan baku

s = √(681,2/4) = 13,05

Jawaban

s = 13,05

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,2743

Standarkan

z = 0,6

Tabel normal baku

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Jawaban

P = 0,2743

3.Peluang

Jawaban: N = 455

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Jawaban

N = 455

4.Peluang

Jawaban: P = 0,3241

Rumus binomial

P(X = 4) = 15·0,7⁴·0,3² = 15·0,2401·0,09 = 0,3241

Jawaban

P = 0,3241

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,3526

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (470 − 500)/40 = −0,75

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Luas di antara

P = Φ(0,2) − Φ(−0,75) = 0,5793 − 0,2266 = 0,3526

Jawaban

P = 0,3526

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 473 h

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,25

z dari tabel

z ≈ −0,67

Kembali ke satuan semula

x = 500 − 0,67·40 = 473 h

Jawaban

x = 473 h

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 109,4

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Margin galat

E = 2,201·4,5/√12 = 2,859

Selang

106,5 ± 2,859 → [103,6, 109,4]

Jawaban

batas atas = 109,4

8.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 7,535 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

s_p² = (25·6² + 4·1,5²)/29 = 31,34

s_p = 5,599

Margin galat

E = 2,756·5,599·√(1/26 + 1/5) = 7,535

Jawaban

E = 7,535 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,16

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Statistik uji

t = (498,2 − 500)/0,8333 = −2,16

Jawaban

t = −2,16

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 102,8

Margin galat

E = 2,576·8/√64 = 2,576

Batas selang

U = 100,2 + 2,576 = 102,8

Jawaban

U = 102,8

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9971

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 177/6 = 29,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 275

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1084

Koefisien determinasi

r² = 275²/(70·1084) = 0,9971

Jawaban

r² = 0,9971

Sekitar 99,71% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 33,95

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 121/5 = 24,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

Garis regresi

b = 130/40 = 3,25

a = 24,2 − 3,25·6 = 4,7

ŷ = 4,7 + 3,25·x

Prediksi

ŷ = 4,7 + 3,25·9 = 33,95

Jawaban

ŷ = 33,95

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1