Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
1520253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 15, 40, 31, 54, 23, 49, 54.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 20. Tentukan skor z z untuk nilai 62.

μ = 50σ = 20x = 62
z =
3.PeluangSedang
xp(x)00,310,0520,3530,2540,05μ = 1,7

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,35, 0,25, 0,05
σ =
4.PeluangSulit
xp(x)100,3200,15300,25400,3μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 20. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3Y = −2X + 20
σY =
5.Distribusi normalSedang
22,744,3P = ?

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 22,7 dan 44,3 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 32σ = 6x1 = 22,7x2 = 44,3
P =
6.Distribusi normalSulit
0,05 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,05 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
n = 12, s = 18LU = ?x̄ = 51E95%

Sebuah sampel berisi 12 unit memiliki rata-rata 51 dan simpangan baku s = 18. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 12x̄ = 51s = 1895%t(11) = 2,201
batas atas =
8.Selang kepercayaanSulit
n = 16σ = ?Us = 6,795%

Diameter 16 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 6,7 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 15, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 6,262 dan 2,5% berada di atas 27,488.

n = 16s = 6,7 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,13102,131

Sampel 16 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 114,8 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 114,8s = 8n = 16
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1α = 0,05βσ = 7, kuasa 95%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 1 satuan dengan kuasa 95%. Simpangan bakunya 7. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,05kuasa = 95%δ = 1σ = 7zα = 1,645zβ = 1,645
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy153617451948215923642573xy1520254060

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy355459559663771xy4655606570ŷ = 67

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 67?

n = 5ŷ = 67
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 15,49

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 266/7 = 38

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−23)² + 2² + (−7)² + 16² + (−15)² + 11² + 16² = 1440

Simpangan baku

s = √(1440/6) = 15,49

Jawaban

s = 15,49
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 0,6

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (62 − 50)/20 = 0,6

Jawaban

z = 0,6
3.Peluang

Jawaban: σ = 1,269

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,3 + 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,05 = 1,7

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,05 = 4,5

Variansi

Var(X) = 4,5 − 1,7² = 1,61
σ = √1,61 = 1,269

Jawaban

σ = 1,269
4.Peluang

Jawaban: σY = 24,06

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 25,5, Var(X) = 144,8, σX = 12,03

Perubahan linear

σY = |−2|·12,03 = 24,06

Jawaban

σY = 24,06

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·25,5 + 20 = −31.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9192

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55
z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05

Luas di antara

P = Φ(2,05) − Φ(−1,55) = 0,9798 − 0,06057 = 0,9192

Jawaban

P = 0,9192
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9875

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Standarkan

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Peluang

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Jawaban

P = 0,9875
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 62,44

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Margin galat

E = 2,201·18/√12 = 11,44

Selang

51 ± 11,44 → [39,56, 62,44]

Jawaban

batas atas = 62,44
8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 4,949 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 15·6,7² = 673,4

Batas untuk σ²

673,4/27,488 = 24,5
673,4/6,262 = 107,5

Batas untuk σ

σ = √24,5 = 4,949 µm

Jawaban

σ = 4,949 µm

Selang 95% untuk σ: [4,949, 10,37] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,6

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Statistik uji

t = (114,8 − 120)/2 = −2,6

Jawaban

t = −2,6
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| > 2,131, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 531

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1,645 + 1,645)·7/1)² = 530,4

Bulatkan ke atas

n = 531

Jawaban

n = 531
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9933

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 325/6 = 54,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 253
Syy = Σ(y − ȳ)² = 926,8

Koefisien korelasi

r = 253/√(70·926,8) = 0,9933

Jawaban

r = 0,9933
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 6,556

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 307/5 = 61,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

Garis regresi

b = 36/10 = 3,6
a = 61,4 − 3,6·5 = 43,4
ŷ = 43,4 + 3,6·x

Selesaikan untuk x

x = (67 − 43,4)/3,6 = 6,556

Jawaban

x = 6,556

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1