Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 12, 57, 38, 18, 14, 44, 27.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 50. Tentukan skor z z untuk nilai 562,5.
μ = 500σ = 50x = 562,5
z =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,15, 0,15
Var(X) =
4.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €10 untuk dimainkan. Anda memenangkan €20 dengan peluang 0,25 dan €200 dengan peluang 0,02; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €10€20: p = 0,25€200: p = 0,02
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 442 dan 560 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 500σ = 40x1 = 442x2 = 560
P =
6.Distribusi normalSulit
umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 15% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 500 hσ = 40 h15%
x = h
7.Selang kepercayaanSedang
Tekanan darah 20 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 9,2 dan simpangan baku 2,4. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.
n = 20d̄ = 9,2sd = 2,499%t(19) = 2,861
batas bawah = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 39. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?
σ = 39E = 1,590%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 100; simpangan baku populasinya diketahui 6. Sampel acak 144 pengamatan memiliki rata-rata 101,19. Uji H₀: μ = 100 melawan H₁: μ > 100. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 100σ = 6n = 144x̄ = 101,19H₁: μ > μ₀
p =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 200 melawan H₁: μ > 200 dilakukan pada α = 0,05 dengan sampel berukuran 64; simpangan bakunya diketahui 20. Kenyataannya, rata-ratanya 205,25. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.
μ₀ = 200μ = 205,25σ = 20n = 64α = 0,05
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 5Σx = 30Σy = 101Σx² = 220Σy² = 2447Σxy = 732
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 16,94
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 210/7 = 30
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−18)² + 27² + 8² + (−12)² + (−16)² + 14² + (−3)² = 1722
Simpangan baku
s = √(1722/6) = 16,94
Jawaban
s = 16,94
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = 1,25
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (562,5 − 500)/50 = 1,25
Jawaban
z = 1,25
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 1,94
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,15 = 1,6
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,15 = 4,5
Variansi
Var(X) = 4,5 − 1,6² = 1,94
Jawaban
Var(X) = 1,94
4.Peluang
Jawaban: E(G) = −1 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 10 (p = 0,25), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,73)
Nilai harapan
E(G) = 10·0,25 + 190·0,02 − 10·0,73 = −1 €
Jawaban
E(G) = −1 €
Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8597
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45
z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5
Luas di antara
P = Φ(1,5) − Φ(−1,45) = 0,9332 − 0,07353 = 0,8597
Jawaban
P = 0,8597
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 458 h
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,15
z dari tabel
z ≈ −1,04
Kembali ke satuan semula
x = 500 − 1,04·40 = 458 h
Jawaban
x = 458 h
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 7,665 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai kritis
df = 19, t = 2,861
Margin galat
E = 2,861·2,4/√20 = 1,535
Selang
9,2 ± 1,535 → [7,665, 10,74]
Jawaban
batas bawah = 7,665 mmHg
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 1830
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,645·39/1,5)² = 1829
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 1830
Jawaban
n = 1830
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,008656
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (101,19 − 100)/0,5 = 2,38
Luas ekor
Φ(2,38) = 0,9913
1 − Φ(2,38) = 0,0087
nilai p
p = 0,008656
Jawaban
p = 0,008656
p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: 1 − β = 67,54 %
Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Rata-rata sampel kritis
SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 200 + 1,645·2,5 = 204,1
z menurut rata-rata sebenarnya
z = (204,1 − 205,25)/2,5 = −0,455
Daya
kuasa = P(Z > −0,455) = 67,54%
1 − β = 67,54%
Jawaban
1 − β = 67,54%
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9878
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 732 − 30·101/5 = 126
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2447 − 101²/5 = 406,8
Koefisien korelasi
r = 126/√(40·406,8) = 0,9878
Jawaban
r = 0,9878
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 14
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 78/5 = 15,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Garis regresi
b = −32/10 = −3,2
a = 15,6 − (−3,2)·3 = 25,2
ŷ = 25,2 − 3,2·x
Prediksi
ŷ = 25,2 + (−3,2)·3,5 = 14
Jawaban
ŷ = 14
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1