Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 32, 39, 33, 11, 56.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 20. Tentukan skor z z untuk nilai 70.

μ = 100σ = 20x = 70

z =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 8 bola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

8 / 4

P =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €2 untuk dimainkan. Anda memenangkan €6 dengan peluang 0,25 dan €40 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €2€6: p = 0,25€40: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,9265. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9265

z =

6.Distribusi normalSulit

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Selang kepercayaanSedang

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 40 ponsel, rata-rata 114 h, simpangan baku diketahui 4 h. Model 2: 30 ponsel, rata-rata 122 h, simpangan baku diketahui 9 h. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 114 hσ₁ = 4 hn₂ = 30x̄₂ = 122 hσ₂ = 9 h99%

batas bawah = h

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 27. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2?

σ = 27E = 290%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 50,8 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 50,8s = 4n = 36

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 4 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 26. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,05kuasa = 90%δ = 4σ = 26z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 115Σy = 294Σx² = 2735Σy² = 18136Σxy = 7035

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 14) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 14)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,15

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 171/5 = 34,2

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−2,2)² + 4,8² + (−1,2)² + (−23,2)² + 21,8² = 1043

Simpangan baku

s = √(1043/4) = 16,15

Jawaban

s = 16,15

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1,5

Standarkan

z = (70 − 100)/20 = −1,5

Jawaban

z = −1,5

3.Peluang

Jawaban: P = 0,4242

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242

Jawaban

P = 0,4242

4.Peluang

Jawaban: E(G) = −0,1 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 4 (p = 0,25), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,74)

Nilai harapan

E(G) = 4·0,25 + 38·0,01 − 2·0,74 = −0,1 €

Jawaban

E(G) = −0,1 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −1,45

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,9265 = 0,0735

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,0735 di dalam tabel dan baca z.

z = −1,45

Jawaban

z = −1,45

6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,983

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm

Standarkan

z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12

Peluang

P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983

Jawaban

P = 0,983

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −12,54 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 114 − 122 = −8

Galat baku

SE = √(4²/40 + 9²/30) = 1,761

Margin galat

E = 2,576·1,761 = 4,536

Selang

−8 ± 4,536 → [−12,54, −3,464]

Jawaban

batas bawah = −12,54 h

Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 494

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·27/2)² = 493,2

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 494

Jawaban

n = 494

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,2

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statistik uji

t = (50,8 − 50)/0,6667 = 1,2

Jawaban

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 362

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1,645 + 1,282)·26/4)² = 362

Bulatkan ke atas

n = 362

Jawaban

n = 362

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9877

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 7035 − 115·294/5 = 273

S_xx = 2735 − 115²/5 = 90

S_yy = 18136 − 294²/5 = 848,8

Koefisien korelasi

r = 273/√(90·848,8) = 0,9877

Jawaban

r = 0,9877

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −2,5

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 99/6 = 16,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −57,5

Garis regresi

b = −57,5/17,5 = −3,286

a = 16,5 − (−3,286)·3,5 = 28

ŷ = 28 − 3,286·x

Nilai prediksi

ŷ = 28 + (−3,286)·3,5 = 16,5

Residu

e = 14 − 16,5 = −2,5

Jawaban

e = −2,5

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1