Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 33, 43, 53, 10, 13, 19, 42.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 80.

μ = 70σ = 5x = 80

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,15, 0,2, 0,3

Var(X) =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €1 untuk dimainkan. Anda memenangkan €4 dengan peluang 0,1 dan €10 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €1€4: p = 0,1€10: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 178 dan 183,6 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 183,6

P =

6.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 80% data (persentil ke-80).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 10 unit memiliki rata-rata 50 dan simpangan baku s = 4. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 10x̄ = 50s = 499%t(9) = 3,25

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 7. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 0,5?

σ = 7E = 0,595%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 60 komponen memiliki rata-rata panjang 88 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 20 mm. Lini 2: sampel 100 komponen memiliki rata-rata 93,3 mm, simpangan baku diketahui 14 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 60x̄₁ = 88 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 100x̄₂ = 93,3 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 53,5. Simpangan baku populasi 10. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 53,5σ = 10n = 6495%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (7, 14) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(7, 14)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,63

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 213/7 = 30,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 2,571² + 12,57² + 22,57² + (−20,43)² + (−17,43)² + (−11,43)² + 11,57² = 1660

Simpangan baku

s = √(1660/6) = 16,63

Jawaban

s = 16,63

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 2

Standarkan

z = (80 − 70)/5 = 2

Jawaban

z = 2

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,547

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,3 = 1,45

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,3 = 3,65

Variansi

Var(X) = 3,65 − 1,45² = 1,547

Jawaban

Var(X) = 1,547

4.Peluang

Jawaban: E(G) = −0,5 €

Hasil bersih

G: 3 (p = 0,1), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)

Nilai harapan

E(G) = 3·0,1 + 9·0,01 − 1·0,89 = −0,5 €

Jawaban

E(G) = −0,5 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,2881

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (183,6 − 178)/7 = 0,8

Luas di antara

P = Φ(0,8) − Φ(0) = 0,7881 − 0,5 = 0,2881

Jawaban

P = 0,2881

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 254,2 g

z untuk persentil

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Kembali ke x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Jawaban

x = 254,21 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 45,89

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Margin galat

E = 3,25·4/√10 = 4,111

Selang

50 ± 4,111 → [45,89, 54,11]

Jawaban

batas bawah = 45,89

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 753

Selesaikan untuk n

n = (1,96·7/0,5)² = 753

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 753

Jawaban

n = 753

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −1,804

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(20²/60 + 14²/100) = √8,627 = 2,937

Statistik uji

z = (88 − 93,3)/2,937 = −1,804

Jawaban

z = −1,804

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 51,05

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·10/√64 = 2,45

Batas selang

L = 53,5 − 2,45 = 51,05

Jawaban

L = 51,05

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,975

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 75/5 = 15

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 156

Koefisien determinasi

r² = 78²/(40·156) = 0,975

Jawaban

r² = 0,975

Sekitar 97,5% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −1,833

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 95/6 = 15,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 131

Garis regresi

b = 131/70 = 1,871

a = 15,83 − 1,871·7 = 2,733

ŷ = 2,733 + 1,871·x

Nilai prediksi

ŷ = 2,733 + 1,871·7 = 15,83

Residu

e = 14 − 15,83 = −1,833

Jawaban

e = −1,833

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1