Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 59, 14, 57, 42, 58, 10.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 40. Berapa proporsi P nilai di bawah 420?

μ = 500σ = 40x = 420

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,05, 0,15, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.PeluangSulit

5 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,6. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 5p = 0,6

P =

5.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 120 mm dan simpangan baku 0,3 mm; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 80 mm dan simpangan baku 0,4 mm. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 200,8 mm. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,8 mm

P =

6.Distribusi normalSulit

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 75% data (persentil ke-75).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 12 unit memiliki rata-rata 19 dan simpangan baku s = 9,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 12x̄ = 19s = 9,590%t(11) = 1,796

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 9 petak, rata-rata hasil 55 kg, simpangan baku 1 kg. Kelompok petak 2: 5 petak, rata-rata 50,5 kg, simpangan baku 8 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 55s₁ = 1n₂ = 5x̄₂ = 50,5s₂ = 890%t(12) = 1,782

E = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 50; simpangan baku populasinya diketahui 10. Sampel acak 100 pengamatan memiliki rata-rata 47,92. Uji H₀: μ = 50 melawan H₁: μ < 50. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 50σ = 10n = 100x̄ = 47,92H₁: μ < μ₀

p =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2? Simpangan bakunya 15. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 15E = 295%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 22,6

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 240/6 = 40

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 19² + (−26)² + 17² + 2² + 18² + (−30)² = 2554

Simpangan baku

s = √(2554/5) = 22,6

Jawaban

s = 22,6

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,02275

Standarkan

z = −2

Tabel normal baku

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Jawaban

P = 0,02275

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,84

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,15 + 2·0,05 + 3·0,15 + 4·0,35 + 5·0,3 = 3,6

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,05 + 9·0,15 + 16·0,35 + 25·0,3 = 14,8

Variansi

Var(X) = 14,8 − 3,6² = 1,84

Jawaban

Var(X) = 1,84

4.Peluang

Jawaban: P = 0,08704

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,4⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5·0,6·0,4⁴ = 0,0768

Jumlahkan

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Jawaban

P = 0,08704

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,0548

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standarkan

z = (200,8 − 200)/0,5 = 1,6

Ekor atas

P = 1 − Φ(1,6) = 1 − 0,9452 = 0,0548

Jawaban

P = 0,0548

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 527 h

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Kembali ke x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Jawaban

x = 526,98 h

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 14,07

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margin galat

E = 1,796·9,5/√12 = 4,925

Selang

19 ± 4,925 → [14,07, 23,93]

Jawaban

batas bawah = 14,07

8.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 4,662 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

s_p² = (8·1² + 4·8²)/12 = 22

s_p = 4,69

Margin galat

E = 1,782·4,69·√(1/9 + 1/5) = 4,662

Jawaban

E = 4,662 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,01876

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (47,92 − 50)/1 = −2,08

Luas ekor

Φ(2,08) = 0,9812

1 − Φ(2,08) = 0,0188

nilai p

p = 0,01876

Jawaban

p = 0,01876

p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 217

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,96·15/2)² = 216,1

Bulatkan ke atas

n = 217

Jawaban

n = 217

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9911

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 661/6 = 110,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 841,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4577

Koefisien korelasi

r = 841,5/√(157,5·4577) = 0,9911

Jawaban

r = 0,9911

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 32,26

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 150/6 = 25

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254

Garis regresi

b = 254/70 = 3,629

a = 25 − 3,629·7 = −0,4

ŷ = −0,4 + 3,629·x

Prediksi

ŷ = −0,4 + 3,629·9 = 32,26

Jawaban

ŷ = 32,26

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1