Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
303540455055

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 26, 43, 58, 27, 38, 52, 49.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 25. Tentukan skor z z untuk nilai 475.

μ = 500σ = 25x = 475
z =
3.PeluangSedang
P(paling sedikit satu enam) = ??1?2P(enam) = 1/6 pada setiap lemparan

Sebuah dadu adil dilempar 2 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 2
P =
4.PeluangSulit
n = 8, p = 0,25: P(X ≤ 1) = ?k012345678

8 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,25. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 8p = 0,25
P =
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di sebelah kanan z = 0,9798

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,9798. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9798
z =
6.Distribusi normalSulit
0,02 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
n = 9, s = 7,5L = ?Ux̄ = 15,5E95%

Sebuah sampel berisi 9 unit memiliki rata-rata 15,5 dan simpangan baku s = 7,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 9x̄ = 15,5s = 7,595%t(8) = 2,306
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 23, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Simpangan baku populasi adalah 23. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?

σ = 23E = 190%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−1,961,96z = ?

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 60 komponen memiliki rata-rata panjang 52,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 18 mm. Lini 2: sampel 40 komponen memiliki rata-rata 45,1 mm, simpangan baku diketahui 13 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 60x̄₁ = 52,5 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 40x̄₂ = 45,1 mmσ₂ = 13 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −2,57602,576

Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 201,4. Simpangan baku populasi 4. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 201,4σ = 4n = 6499%
L =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy142251347455559xy245060

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 15Σy = 254Σx² = 55Σy² = 13080Σxy = 800
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy148354570777983xy56080x = 8

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (8, 85) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(8, 85)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,27

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 293/7 = 41,86

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−15,86)² + 1,143² + 16,14² + (−14,86)² + (−3,857)² + 10,14² + 7,143² = 902,9

Simpangan baku

s = √(902,9/6) = 12,27

Jawaban

s = 12,27
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (475 − 500)/25 = −1

Jawaban

z = −1
3.Peluang

Jawaban: P = 0,3056

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Jawaban

P = 0,3056
4.Peluang

Jawaban: P = 0,3671

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,758 = 0,1001
P(X = 1) = 8·0,25·0,757 = 0,267

Jumlahkan

P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671

Jawaban

P = 0,3671
5.Distribusi normal

Jawaban: z = −2,05

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,9798 = 0,0202

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,0202 di dalam tabel dan baca z.

z = −2,05

Jawaban

z = −2,05
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Standarkan

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 9,735

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Margin galat

E = 2,306·7,5/√9 = 5,765

Selang

15,5 ± 5,765 → [9,735, 21,27]

Jawaban

batas bawah = 9,735
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1432

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·23/1)² = 1431

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 1432

Jawaban

n = 1432
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,385

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(18²/60 + 13²/40) = √9,625 = 3,102

Statistik uji

z = (52,5 − 45,1)/3,102 = 2,385

Jawaban

z = 2,385

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 200,1

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 2,576·4/√64 = 1,288

Batas selang

L = 201,4 − 1,288 = 200,1

Jawaban

L = 200,1
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9037

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 800 − 15·254/5 = 38
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 13080 − 254²/5 = 176,8

Koefisien korelasi

r = 38/√(10·176,8) = 0,9037

Jawaban

r = 0,9037
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 4,65

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 332/5 = 66,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186

Garis regresi

b = 186/40 = 4,65
a = 66,4 − 4,65·5 = 43,15
ŷ = 43,15 + 4,65·x

Nilai prediksi

ŷ = 43,15 + 4,65·8 = 80,35

Residu

e = 85 − 80,35 = 4,65

Jawaban

e = 4,65

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1