Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 49, 31, 51, 19, 33, 27.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di atas 55?
μ = 60σ = 5x = 55
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,3, 0,35, 0,05
Var(X) =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 10. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,05, 0,2, 0,2, 0,35Y = 2X + 10
σY =
5.Distribusi normalSedang
X normal dengan rata-rata 12 min dan simpangan baku 1,5 min; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 20 min dan simpangan baku 2 min. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 30 min. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 30 min
P =
6.Distribusi normalSulit
Tinggi badan X pria dan Y wanita dalam suatu kelompok saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 180 cm dan simpangan baku 10 cm, Y memiliki rata-rata 170 cm dan simpangan baku 12 cm. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 60 ponsel, rata-rata 148,5 h, simpangan baku diketahui 10 h. Model 2: 100 ponsel, rata-rata 144 h, simpangan baku diketahui 13 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 60x̄₁ = 148,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 100x̄₂ = 144 hσ₂ = 13 h95%
E = h
8.Selang kepercayaanSulit
Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,7 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 95% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,01?
p ≈ 0,7E = 0,0195%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 50 komponen memiliki rata-rata panjang 64 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 9 mm. Lini 2: sampel 60 komponen memiliki rata-rata 66,5 mm, simpangan baku diketahui 13 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).
n₁ = 50x̄₁ = 64 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 60x̄₂ = 66,5 mmσ₂ = 13 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5? Simpangan bakunya 5. Tentukan ukuran sampel terkecil n.
σ = 5E = 1,595%
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (5, 17) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 5(5, 17)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 12,59
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 210/6 = 35
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 14² + (−4)² + 16² + (−16)² + (−2)² + (−8)² = 792
Simpangan baku
s = √(792/5) = 12,59
Jawaban
s = 12,59
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,8413
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1
Tabel normal baku
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Jawaban
P = 0,8413
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 0,99
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,05 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,35 + 4·0,05 = 2,1
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,05 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,35 + 16·0,05 = 5,4
Variansi
Var(X) = 5,4 − 2,1² = 0,99
Jawaban
Var(X) = 0,99
4.Peluang
Jawaban: σY = 2,998
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,45, Var(X) = 2,247, σX = 1,499
Perubahan linear
σY = |2|·1,499 = 2,998
Jawaban
σY = 2,998
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·2,45 + 10 = 14,9.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7881
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi jumlah
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standarkan
z = (30 − 32)/2,5 = −0,8
Ekor atas
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Jawaban
P = 0,7881
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7389
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standarkan
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Peluang
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Jawaban
P = 0,7389
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 3,591 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 148,5 − 144 = 4,5
Galat baku
SE = √(10²/60 + 13²/100) = 1,832
Margin galat
E = 1,96·1,832 = 3,591
Jawaban
E = 3,591 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 8068
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 1,96²·0,7·0,3/0,01² = 8067
Bulatkan ke atas
n = 8068
Jawaban
n = 8068
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −1,187
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Galat baku selisih
SE = √(9²/50 + 13²/60) = √4,437 = 2,106
Statistik uji
z = (64 − 66,5)/2,106 = −1,187
Jawaban
z = −1,187
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 43
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Selesaikan untuk n
n = (1,96·5/1,5)² = 42,68
Bulatkan ke atas
n = 43
Jawaban
n = 43
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,7714
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 138/6 = 23
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Syy = Σ(y − ȳ)² = 24
Koefisien determinasi
r² = −18²/(17,5·24) = 0,7714
Jawaban
r² = 0,7714
Sekitar 77,14% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 3,05
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 84/5 = 16,8
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
Garis regresi
b = 114/40 = 2,85
a = 16,8 − 2,85·6 = −0,3
ŷ = −0,3 + 2,85·x
Nilai prediksi
ŷ = −0,3 + 2,85·5 = 13,95
Residu
e = 17 − 13,95 = 3,05
Jawaban
e = 3,05
Titik terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1