Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 14, 25, 30, 57, 36, 50, 52.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 100. Berapa proporsi P nilai di atas 540?

μ = 500σ = 100x = 540

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,1, 0,2

Var(X) =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 4. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,3Y = −2X + 4

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 10 di antaranya melebihi 887,9 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10> 887,9 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 15% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 8 unit memiliki rata-rata 65,5 dan simpangan baku s = 18. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 8x̄ = 65,5s = 1890%t(7) = 1,895

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 9. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2?

σ = 9E = 299%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 100 komponen memiliki rata-rata panjang 143 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 5 mm. Lini 2: sampel 50 komponen memiliki rata-rata 137,3 mm, simpangan baku diketahui 20 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 100x̄₁ = 143 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 50x̄₂ = 137,3 mmσ₂ = 20 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3? Simpangan bakunya 5. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 5E = 390%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 100Σy = 457Σx² = 2040Σy² = 42853Σxy = 9348

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (22, 119) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(22, 119)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 15,88

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 264/7 = 37,71

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−23,71)² + (−12,71)² + (−7,714)² + 19,29² + (−1,714)² + 12,29² + 14,29² = 1513

Simpangan baku

s = √(1513/6) = 15,88

Jawaban

s = 15,88

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3446

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Jawaban

P = 0,3446

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 2,027

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,2 = 1,85

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,2 = 5,45

Variansi

Var(X) = 5,45 − 1,85² = 2,027

Jawaban

Var(X) = 2,027

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 24,82

Sebaran X

μ = 24, Var(X) = 154, σ_X = 12,41

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·12,41 = 24,82

Jawaban

σ_Y = 24,82

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·24 + 4 = −44.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1587

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 850 kg, σ_T = 12·√10 = 37,95 kg

Standarkan

z = (887,9 − 850)/37,95 = 1

Peluang

P = 1 − Φ(1) = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 458 h

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,15

z dari tabel

z ≈ −1,04

Kembali ke satuan semula

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Jawaban

x = 458 h

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 77,56

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margin galat

E = 1,895·18/√8 = 12,06

Selang

65,5 ± 12,06 → [53,44, 77,56]

Jawaban

batas atas = 77,56

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 135

Selesaikan untuk n

n = (2,576·9/2)² = 134,4

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 135

Jawaban

n = 135

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 1,984

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(5²/100 + 20²/50) = √8,25 = 2,872

Statistik uji

z = (143 − 137,3)/2,872 = 1,984

Jawaban

z = 1,984

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,645·5/3)² = 7,517

Bulatkan ke atas

n = 8

Jawaban

n = 8

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9993

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 9348 − 100·457/5 = 208

S_xx = 2040 − 100²/5 = 40

S_yy = 42853 − 457²/5 = 1083

Koefisien korelasi

r = 208/√(40·1083) = 0,9993

Jawaban

r = 0,9993

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −2,6

Rata-rata

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 512/5 = 102,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256

Garis regresi

b = 256/40 = 6,4

a = 102,4 − 6,4·19 = −19,2

ŷ = −19,2 + 6,4·x

Nilai prediksi

ŷ = −19,2 + 6,4·22 = 121,6

Residu

e = 119 − 121,6 = −2,6

Jawaban

e = −2,6

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1