Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
101520253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 24, 50, 25, 52, 32, 34, 10.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di atas 103,2?

μ = 100σ = 8x = 103,2
P =
3.PeluangSedang
merah: 3biru: 3

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 3 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

3 / 3
P =
4.PeluangSulit
n = 6, p = 0,7: P(X = 3) = ?k0123456

Sebuah tes memiliki 6 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,7, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 3 jawaban benar?

n = 6p = 0,7k = 3
P =
5.Distribusi normalSedang
6083P = ?

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 60 dan 83 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 83
P =
6.Distribusi normalSulit
μ = 178x = ?90%

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 90% data (persentil ke-90).

μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
7.Selang kepercayaanSedang
n = 25, s = 4LUx̄ = 54E = ?99%

Sebuah sampel berisi 25 unit memiliki rata-rata 54 dan simpangan baku s = 4. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 25x̄ = 54s = 499%t(24) = 2,797
E =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,590%

Simpangan baku populasi adalah 26. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 0,5?

σ = 26E = 0,590%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,2282,228t = ?df = 10

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 7 siswa, rata-rata nilai 26, simpangan baku 5. Kelompok 2: 5 siswa, rata-rata nilai 33, simpangan baku 6. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 7x̄₁ = 26s₁ = 5n₂ = 5x̄₂ = 33s₂ = 6
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,01βσ = 19, kuasa 80%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 5 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 19. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,01kuasa = 80%δ = 5σ = 19zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy1567187621922410527123xy15202580100120

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy125227324420519xy242025x = 2,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 2,5.

n = 5x = 2,5
ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,85

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 227/7 = 32,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−8,429)² + 17,57² + (−7,429)² + 19,57² + (−0,4286)² + 1,571² + (−22,43)² = 1324

Simpangan baku

s = √(1324/6) = 14,85

Jawaban

s = 14,85
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3446

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Jawaban

P = 0,3446
3.Peluang

Jawaban: P = 0,2

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2

Jawaban

P = 0,2
4.Peluang

Jawaban: P = 0,1852

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 3) = 20·0,73·0,33 = 20·0,343·0,027 = 0,1852

Jawaban

P = 0,1852
5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,6555

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5
z₂ = (83 − 65)/10 = 1,8

Luas di antara

P = Φ(1,8) − Φ(−0,5) = 0,9641 − 0,3085 = 0,6555

Jawaban

P = 0,6555
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 187 cm

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Kembali ke x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Jawaban

x = 186,97 cm
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,238

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Margin galat

E = 2,797·4/√25 = 2,238

Jawaban

E = 2,238
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 7318

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·26/0,5)² = 7317

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 7318

Jawaban

n = 7318
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,205

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

sp² = (6·5² + 4·6²)/10 = 29,4
sp = 5,422

Galat baku

SE = 5,422·√(1/7 + 1/5) = 3,175

Statistik uji

t = (26 − 33)/3,175 = −2,205

Jawaban

t = −2,205

Dengan df = 10, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,228; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 145

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2,326 + 0,842)·19/5)² = 144,9

Bulatkan ke atas

n = 145

Jawaban

n = 145
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9947

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 463/5 = 92,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2009

Koefisien korelasi

r = 423/√(90·2009) = 0,9947

Jawaban

r = 0,9947
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 23,95

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Garis regresi

b = −19/10 = −1,9
a = 23 − (−1,9)·3 = 28,7
ŷ = 28,7 − 1,9·x

Prediksi

ŷ = 28,7 + (−1,9)·2,5 = 23,95

Jawaban

ŷ = 23,95

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1