Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 36, 16, 42, 11, 57.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 10. Tentukan skor z z untuk nilai 82,5.

μ = 70σ = 10x = 82,5

z =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

3 / 8

P =

4.PeluangSulit

5 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,2. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 5p = 0,2

P =

5.Distribusi normalSedang

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 468 dan 508 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 508

P =

6.Distribusi normalSulit

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 60% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 20 unit memiliki rata-rata 59 dan simpangan baku s = 18. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 20x̄ = 59s = 1899%t(19) = 2,861

E =

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 20 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 3,8 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 19, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 8,907 dan 2,5% berada di atas 32,852.

n = 20s = 3,8 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 49 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 124,9 dan simpangan baku sampel 20. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 124,9s = 20n = 49

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 196,8. Simpangan baku populasi 12. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 196,8σ = 12n = 3690%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (6,5, 74) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(6,5, 74)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 18,96

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 162/5 = 32,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 3,6² + (−16,4)² + 9,6² + (−21,4)² + 24,6² = 1437

Simpangan baku

s = √(1437/4) = 18,96

Jawaban

s = 18,96

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 1,25

Standarkan

z = (82,5 − 70)/10 = 1,25

Jawaban

z = 1,25

3.Peluang

Jawaban: P = 0,05455

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455

Jawaban

P = 0,05455

4.Peluang

Jawaban: P = 0,7373

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,8⁵ = 0,3277

P(X = 1) = 5·0,2·0,8⁴ = 0,4096

Jumlahkan

P = 0,3277 + 0,4096 = 0,7373

Jawaban

P = 0,7373

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,3674

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Luas di antara

P = Φ(0,2) − Φ(−0,8) = 0,5793 − 0,2119 = 0,3674

Jawaban

P = 0,3674

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 251,3 g

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,6

z dari tabel

z ≈ 0,25

Kembali ke satuan semula

x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g

Jawaban

x = 251,3 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 11,52

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Margin galat

E = 2,861·18/√20 = 11,52

Jawaban

E = 11,52

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 5,55 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 19·3,8² = 274,4

Batas untuk σ²

274,4/32,852 = 8,351

274,4/8,907 = 30,8

Batas untuk σ

σ = √30,8 = 5,55 µm

Jawaban

σ = 5,55 µm

Selang 95% untuk σ: [2,89, 5,55] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,715

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Statistik uji

t = (124,9 − 120)/2,857 = 1,715

Jawaban

t = 1,715

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 193,5

Margin galat

E = 1,645·12/√36 = 3,29

Batas selang

L = 196,8 − 3,29 = 193,5

Jawaban

L = 193,5

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,8829

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 248/5 = 49,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 355,2

Koefisien determinasi

r² = 56²/(10·355,2) = 0,8829

Jawaban

r² = 0,8829

Sekitar 88,29% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −1,686

Rata-rata

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 402/6 = 67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Garis regresi

b = 76/17,5 = 4,343

a = 67 − 4,343·4,5 = 47,46

ŷ = 47,46 + 4,343·x

Nilai prediksi

ŷ = 47,46 + 4,343·6,5 = 75,69

Residu

e = 74 − 75,69 = −1,686

Jawaban

e = −1,686

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1