Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 12, 47, 34, 30, 28, 15.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 20. Tentukan skor z z untuk nilai 60.
μ = 70σ = 20x = 60
z =
3.PeluangSedang
Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 6 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?
5 / 6
P =
4.PeluangSulit
Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,25, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 5 jawaban benar?
n = 10p = 0,25k = 5
P =
5.Distribusi normalSedang
Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 100 dan 127,75 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 100σ = 15x1 = 100x2 = 127,75
P =
6.Distribusi normalSulit
umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 60% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 30 unit memiliki rata-rata 98,5 dan simpangan baku s = 12,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
n = 30x̄ = 98,5s = 12,590%t(29) = 1,699
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 26. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2?
σ = 26E = 295%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
13 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 0,38 dan simpangan baku selisihnya 1,7. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.
n = 13d̄ = 0,38sd = 1,7
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 25 pengukuran memiliki rata-rata 125,7. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
x̄ = 125,7σ = 15n = 2590%
L =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 59?
n = 5ŷ = 59
x =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 12,85
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 166/6 = 27,67
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−15,67)² + 19,33² + 6,333² + 2,333² + 0,3333² + (−12,67)² = 825,3
Simpangan baku
s = √(825,3/5) = 12,85
Jawaban
s = 12,85
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −0,5
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (60 − 70)/20 = −0,5
Jawaban
z = −0,5
3.Peluang
Jawaban: P = 0,1818
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pengambilan pertama dan kedua
P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0,1818
Jawaban
P = 0,1818
4.Peluang
Jawaban: P = 0,0584
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rumus binomial
P(X = 5) = 252·0,255·0,755 = 252·0,0009766·0,2373 = 0,0584
Jawaban
P = 0,0584
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,4678
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (100 − 100)/15 = 0
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
Luas di antara
P = Φ(1,85) − Φ(0) = 0,9678 − 0,5 = 0,4678
Jawaban
P = 0,4678
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 510 h
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,6
z dari tabel
z ≈ 0,25
Kembali ke satuan semula
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
Jawaban
x = 510 h
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 94,62
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Margin galat
E = 1,699·12,5/√30 = 3,877
Selang
98,5 ± 3,877 → [94,62, 102,4]
Jawaban
batas bawah = 94,62
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 650
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,96·26/2)² = 649,2
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 650
Jawaban
n = 650
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 0,8059
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Galat baku rata-rata selisih
SE = 1,7/√13 = 0,4715
Statistik uji
t = 0,38/0,4715 = 0,8059
Jawaban
t = 0,8059
Dengan df = 12, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,179; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: L = 120,8
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,645·15/√25 = 4,935
Batas selang
L = 125,7 − 4,935 = 120,8
Jawaban
L = 120,8
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9975
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 775/6 = 129,2
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 862,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4747
Koefisien korelasi
r = 862,5/√(157,5·4747) = 0,9975
Jawaban
r = 0,9975
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 3,424
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 288/5 = 57,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33
Garis regresi
b = 33/10 = 3,3
a = 57,6 − 3,3·3 = 47,7
ŷ = 47,7 + 3,3·x
Selesaikan untuk x
x = (59 − 47,7)/3,3 = 3,424
Jawaban
x = 3,424
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1