Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 34, 35, 39, 37, 39, 53, 25.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di atas 46?

μ = 70σ = 12x = 46

P =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 6 bola merah dan 6 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

6 / 6

P =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X − 3. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,15, 0,15, 0,1Y = 2X − 3

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 12 min dan simpangan baku 1,5 min; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 20 min dan simpangan baku 2 min. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 35,1 min. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,1 min

P =

6.Distribusi normalSulit

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

7.Selang kepercayaanSedang

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 60 ponsel, rata-rata 134 h, simpangan baku diketahui 10 h. Model 2: 60 ponsel, rata-rata 148,5 h, simpangan baku diketahui 3 h. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 134 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 148,5 hσ₂ = 3 h90%

batas atas = h

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 29. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?

σ = 29E = 195%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 120; simpangan baku populasinya diketahui 24. Sampel acak 36 pengamatan memiliki rata-rata 123,68. Uji H₀: μ = 120 melawan H₁: μ > 120. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 120σ = 24n = 36x̄ = 123,68H₁: μ > μ₀

p =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 81 pengukuran memiliki rata-rata 198,8. Simpangan baku populasi 4. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 198,8σ = 4n = 8190%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (6, 75) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(6, 75)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 8,364

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 262/7 = 37,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−3,429)² + (−2,429)² + 1,571² + (−0,4286)² + 1,571² + 15,57² + (−12,43)² = 419,7

Simpangan baku

s = √(419,7/6) = 8,364

Jawaban

s = 8,364

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9772

Standarkan

z = −2

Tabel normal baku

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Jawaban

P = 0,9772

3.Peluang

Jawaban: P = 0,2273

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0,2273

Jawaban

P = 0,2273

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 2,569

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1,5, Var(X) = 1,65, σ_X = 1,285

Perubahan linear

σ_Y = |2|·1,285 = 2,569

Jawaban

σ_Y = 2,569

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·1,5 − 3 = 0.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1075

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standarkan

z = (35,1 − 32)/2,5 = 1,24

Ekor atas

P = 1 − Φ(1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075

Jawaban

P = 0,1075

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 22,13 min

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Jawaban

x = 22,13 min

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = −12,28 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 134 − 148,5 = −14,5

Galat baku

SE = √(10²/60 + 3²/60) = 1,348

Margin galat

E = 1,645·1,348 = 2,217

Selang

−14,5 ± 2,217 → [−16,72, −12,28]

Jawaban

batas atas = −12,28 h

Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 3231

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,96·29/1)² = 3231

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 3231

Jawaban

n = 3231

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,1788

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (123,68 − 120)/4 = 0,92

Luas ekor

Φ(0,92) = 0,8212

1 − Φ(0,92) = 0,1788

nilai p

p = 0,1788

Jawaban

p = 0,1788

p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 198,1

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,645·4/√81 = 0,7311

Batas selang

L = 198,8 − 0,7311 = 198,1

Jawaban

L = 198,1

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9858

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 359/5 = 71,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1291

Koefisien korelasi

r = 224/√(40·1291) = 0,9858

Jawaban

r = 0,9858

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 4,35

Rata-rata

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 377/5 = 75,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

Garis regresi

b = 190/40 = 4,75

a = 75,4 − 4,75·7 = 42,15

ŷ = 42,15 + 4,75·x

Nilai prediksi

ŷ = 42,15 + 4,75·6 = 70,65

Residu

e = 75 − 70,65 = 4,35

Jawaban

e = 4,35

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1