Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 53, 28, 21, 16, 11.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di atas 34?

μ = 50σ = 8x = 34

P =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 12 orang? Urutan tidak penting.

n = 12k = 4

N =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €3 untuk dimainkan. Anda memenangkan €15 dengan peluang 0,15 dan €30 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €3€15: p = 0,15€30: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,9884. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9884

z =

6.Distribusi normalSulit

umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 25% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 8 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata −2,3 dan simpangan baku 3,1. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.

n = 8d̄ = −2,3s_d = 3,199%t(7) = 3,499

E = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 29. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?

σ = 29E = 195%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 48,92 dan simpangan baku sampel 12. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,92s = 12n = 100

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5? Simpangan bakunya 20. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 20E = 1,599%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,45

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 129/5 = 25,8

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 27,2² + 2,2² + (−4,8)² + (−9,8)² + (−14,8)² = 1083

Simpangan baku

s = √(1083/4) = 16,45

Jawaban

s = 16,45

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9772

Standarkan

z = −2

Tabel normal baku

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Jawaban

P = 0,9772

3.Peluang

Jawaban: N = 495

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

Jawaban

N = 495

4.Peluang

Jawaban: E(G) = −0,45 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 12 (p = 0,15), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,84)

Nilai harapan

E(G) = 12·0,15 + 27·0,01 − 3·0,84 = −0,45 €

Jawaban

E(G) = −0,45 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −2,27

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,9884 = 0,0116

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,0116 di dalam tabel dan baca z.

z = −2,27

Jawaban

z = −2,27

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 473 h

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,25

z dari tabel

z ≈ −0,67

Kembali ke satuan semula

x = 500 − 0,67·40 = 473 h

Jawaban

x = 473 h

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 3,835 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 7, t = 3,499

Margin galat

E = 3,499·3,1/√8 = 3,835

Jawaban

E = 3,835 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 3231

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,96·29/1)² = 3231

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 3231

Jawaban

n = 3231

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −0,9

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Statistik uji

t = (48,92 − 50)/1,2 = −0,9

Jawaban

t = −0,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 1180

Selesaikan untuk n

n = (2,576·20/1,5)² = 1180

Bulatkan ke atas

n = 1180

Jawaban

n = 1180

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,985

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 744/6 = 124

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 942

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5720

Koefisien determinasi

r² = 942²/(157,5·5720) = 0,985

Jawaban

r² = 0,985

Sekitar 98,5% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 18,15

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 106/5 = 21,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

Garis regresi

b = 122/40 = 3,05

a = 21,2 − 3,05·6 = 2,9

ŷ = 2,9 + 3,05·x

Prediksi

ŷ = 2,9 + 3,05·5 = 18,15

Jawaban

ŷ = 18,15

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1