Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 38, 36, 17, 38, 31, 27, 51.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 12. Tentukan skor z z untuk nilai 50,4.

μ = 60σ = 12x = 50,4

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,05, 0,2, 0,25, 0,3

Var(X) =

4.PeluangSulit

11 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,4. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 11p = 0,4

P =

5.Distribusi normalSedang

Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya melebihi 404 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 404 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 75% data (persentil ke-75).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 6 unit memiliki rata-rata 98 dan simpangan baku s = 16,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 6x̄ = 98s = 16,590%t(5) = 2,015

E =

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 7 petak, rata-rata hasil 21,5 kg, simpangan baku 5 kg. Kelompok petak 2: 5 petak, rata-rata 11,5 kg, simpangan baku 4 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 21,5s₁ = 5n₂ = 5x̄₂ = 11,5s₂ = 490%t(10) = 1,812

E = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 40 komponen memiliki rata-rata panjang 84 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 5 mm. Lini 2: sampel 100 komponen memiliki rata-rata 81,6 mm, simpangan baku diketahui 17 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 40x̄₁ = 84 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 100x̄₂ = 81,6 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 501,5. Simpangan baku populasi 4. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 501,5σ = 4n = 3699%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 105Σy = 350Σx² = 2245Σy² = 25278Σxy = 7512

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 2.

n = 5x = 2

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 10,58

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 238/7 = 34

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 4² + 2² + (−17)² + 4² + (−3)² + (−7)² + 17² = 672

Simpangan baku

s = √(672/6) = 10,58

Jawaban

s = 10,58

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,8

Standarkan

z = (50,4 − 60)/12 = −0,8

Jawaban

z = −0,8

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 2,14

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,2 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,25 + 5·0,3 = 3,4

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,25 + 25·0,3 = 13,7

Variansi

Var(X) = 13,7 − 3,4² = 2,14

Jawaban

Var(X) = 2,14

4.Peluang

Jawaban: P = 0,03023

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,6¹¹ = 0,003628

P(X = 1) = 11·0,4·0,6¹⁰ = 0,02661

Jumlahkan

P = 0,003628 + 0,02661 = 0,03023

Jawaban

P = 0,03023

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,02275

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Standarkan

z = (404 − 400)/2 = 2

Peluang

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Jawaban

P = 0,02275

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 527 h

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Kembali ke x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Jawaban

x = 526,98 h

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 13,57

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margin galat

E = 2,015·16,5/√6 = 13,57

Jawaban

E = 13,57

8.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 4,908 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

s_p² = (6·5² + 4·4²)/10 = 21,4

s_p = 4,626

Margin galat

E = 1,812·4,626·√(1/7 + 1/5) = 4,908

Jawaban

E = 4,908 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 1,28

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(5²/40 + 17²/100) = √3,515 = 1,875

Statistik uji

z = (84 − 81,6)/1,875 = 1,28

Jawaban

z = 1,28

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 503,2

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 2,576·4/√36 = 1,717

Batas selang

U = 501,5 + 1,717 = 503,2

Jawaban

U = 503,2

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9183

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 7512 − 105·350/5 = 162

S_xx = 2245 − 105²/5 = 40

S_yy = 25278 − 350²/5 = 778

Koefisien korelasi

r = 162/√(40·778) = 0,9183

Jawaban

r = 0,9183

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 46,1

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 310/5 = 62

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

Garis regresi

b = 212/40 = 5,3

a = 62 − 5,3·5 = 35,5

ŷ = 35,5 + 5,3·x

Prediksi

ŷ = 35,5 + 5,3·2 = 46,1

Jawaban

ŷ = 46,1

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1