Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
20253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 52, 52, 16, 53, 19.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di atas 73,2?

μ = 70σ = 8x = 73,2
P =
3.PeluangSedang
xp(x)00,3510,320,35μ = 1

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
4.PeluangSulit
xp(x)00,310,2520,330,15μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 4. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,3, 0,15Y = 3X + 4
σY =
5.Distribusi normalSedang
244,25257,75P = ?

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 244,25 dan 257,75 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 257,75
P =
6.Distribusi normalSulit
μ = 178x = ?10%

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 10% data (persentil ke-10).

μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
7.Selang kepercayaanSedang
n = 8, sd​ = 4,70L = ?Ud̄ = 3,8E99%

Tekanan darah 8 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 3,8 dan simpangan baku 4,7. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.

n = 8d̄ = 3,8sd = 4,799%t(7) = 3,499
batas bawah = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 22, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

Simpangan baku populasi adalah 22. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 4?

σ = 22E = 499%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,0302,03

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 494,8 dan simpangan baku sampel 10. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 494,8s = 10n = 36
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1? Simpangan bakunya 15. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 15E = 199%
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy12222231541351168xy246101520

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 91Σx² = 91Σy² = 1547Σxy = 266
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy122219319416513613xy2461520x = 4,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 4,5.

n = 6x = 4,5
ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 19,11

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 192/5 = 38,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 13,6² + 13,6² + (−22,4)² + 14,6² + (−19,4)² = 1461

Simpangan baku

s = √(1461/4) = 19,11

Jawaban

s = 19,11
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3446

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Jawaban

P = 0,3446
3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 0,7

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Variansi

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Jawaban

Var(X) = 0,7
4.Peluang

Jawaban: σY = 3,161

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1,3, Var(X) = 1,11, σX = 1,054

Perubahan linear

σY = |3|·1,054 = 3,161

Jawaban

σY = 3,161

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 3·1,3 + 4 = 7,9.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8144

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Luas di antara

P = Φ(1,55) − Φ(−1,15) = 0,9394 − 0,1251 = 0,8144

Jawaban

P = 0,8144
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 169 cm

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Kembali ke x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Jawaban

x = 169,03 cm
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −2,014 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 7, t = 3,499

Margin galat

E = 3,499·4,7/√8 = 5,814

Selang

3,8 ± 5,814 → [−2,014, 9,614]

Jawaban

batas bawah = −2,014 mmHg
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 201

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·22/4)² = 200,7

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 201

Jawaban

n = 201
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −3,12

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Statistik uji

t = (494,8 − 500)/1,667 = −3,12

Jawaban

t = −3,12
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 1494

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (2,576·15/1)² = 1493

Bulatkan ke atas

n = 1494

Jawaban

n = 1494
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = −0,9716

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 266 − 21·91/6 = −52,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1547 − 91²/6 = 166,8

Koefisien korelasi

r = −52,5/√(17,5·166,8) = −0,9716

Jawaban

r = −0,9716
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 15,11

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 102/6 = 17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

Garis regresi

b = −33/17,5 = −1,886
a = 17 − (−1,886)·3,5 = 23,6
ŷ = 23,6 − 1,886·x

Prediksi

ŷ = 23,6 + (−1,886)·4,5 = 15,11

Jawaban

ŷ = 15,11

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1