Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
2025303540455055

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 26, 44, 45, 55, 18, 43.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 186?

μ = 170σ = 8x = 186
P =
3.PeluangSedang
n = 11k = 2N = ?

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 2 orang dapat dipilih dari kelompok 11 orang? Urutan tidak penting.

n = 11k = 2
N =
4.PeluangSulit
xp(x)100,35200,15300,35400,15μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 5X − 3. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,15, 0,35, 0,15Y = 5X − 3
σY =
5.Distribusi normalSedang
96,25103P = ?

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 96,25 dan 103 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 100σ = 15x1 = 96,25x2 = 103
P =
6.Distribusi normalSulit
0,03 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 80 ponsel, rata-rata 86,5 h, simpangan baku diketahui 6 h. Model 2: 100 ponsel, rata-rata 81 h, simpangan baku diketahui 12 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 86,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 100x̄₂ = 81 hσ₂ = 12 h90%
E = h
8.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(19) = 2,8610LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 10 petak, rata-rata hasil 65,5 kg, simpangan baku 6 kg. Kelompok petak 2: 11 petak, rata-rata 62,5 kg, simpangan baku 6 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 65,5s₁ = 6n₂ = 11x̄₂ = 62,5s₂ = 699%t(19) = 2,861
batas atas = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,13102,131

Sampel 16 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 77,63 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,63s = 5n = 16
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2,5α = 0,01βσ = 7, kuasa 95%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2,5 satuan dengan kuasa 95%. Simpangan bakunya 7. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,01kuasa = 95%δ = 2,5σ = 7zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy150262364467574675xy246506070

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 392Σx² = 91Σy² = 26030Σxy = 1454
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy2484556618701079xy51050607080ŷ = 74

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 74?

n = 5ŷ = 74
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,72

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 231/6 = 38,5

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−12,5)² + 5,5² + 6,5² + 16,5² + (−20,5)² + 4,5² = 941,5

Simpangan baku

s = √(941,5/5) = 13,72

Jawaban

s = 13,72
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9772

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 2

Tabel normal baku

Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772

Jawaban

P = 0,9772
3.Peluang

Jawaban: N = 55

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Jawaban

N = 55
4.Peluang

Jawaban: σY = 55

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 23, Var(X) = 121, σX = 11

Perubahan linear

σY = |5|·11 = 55

Jawaban

σY = 55

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 5·23 − 3 = 112.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,178

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25
z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2

Luas di antara

P = Φ(0,2) − Φ(−0,25) = 0,5793 − 0,4013 = 0,178

Jawaban

P = 0,178
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8849

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Standarkan

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Peluang

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Jawaban

P = 0,8849
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,262 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 86,5 − 81 = 5,5

Galat baku

SE = √(6²/80 + 12²/100) = 1,375

Margin galat

E = 1,645·1,375 = 2,262

Jawaban

E = 2,262 h

Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 10,5 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (9·6² + 10·6²)/19 = 36
sp = 6

Margin galat

E = 2,861·6·√(1/10 + 1/11) = 7,5

Selang

3 ± 7,5 → [−4,5, 10,5]

Jawaban

batas atas = 10,5 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,104

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statistik uji

t = (77,63 − 75)/1,25 = 2,104

Jawaban

t = 2,104
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 124

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2,326 + 1,645)·7/2,5)² = 123,6

Bulatkan ke atas

n = 124

Jawaban

n = 124
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9572

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 1454 − 21·392/6 = 82
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 26030 − 392²/6 = 419,3

Koefisien korelasi

r = 82/√(17,5·419,3) = 0,9572

Jawaban

r = 0,9572
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 8,961

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 313/5 = 62,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

Garis regresi

b = 154/40 = 3,85
a = 62,6 − 3,85·6 = 39,5
ŷ = 39,5 + 3,85·x

Selesaikan untuk x

x = (74 − 39,5)/3,85 = 8,961

Jawaban

x = 8,961

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1