Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 47, 52, 48, 49, 13, 50.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di bawah 182?

μ = 170σ = 20x = 182

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 9 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,6, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?

n = 9p = 0,6k = 4

P =

5.Distribusi normalSedang

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 9 di antaranya di bawah 819 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 819 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 95% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin95%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 16 unit memiliki rata-rata 53,5 dan simpangan baku s = 10,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 16x̄ = 53,5s = 10,599%t(15) = 2,947

E =

8.Selang kepercayaanSulit

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 99% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,025?

p = 0,5E = 0,02599%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 500; simpangan baku populasinya diketahui 12. Sampel acak 64 pengamatan memiliki rata-rata 497,39. Uji H₀: μ = 500 melawan H₁: μ < 500. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 500σ = 12n = 64x̄ = 497,39H₁: μ < μ₀

p =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1? Simpangan bakunya 20. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 20E = 190%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 82?

n = 6ŷ = 82

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,88

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 259/6 = 43,17

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 3,833² + 8,833² + 4,833² + 5,833² + (−30,17)² + 6,833² = 1107

Simpangan baku

s = √(1107/5) = 14,88

Jawaban

s = 14,88

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,7257

Standarkan

z = 0,6

Tabel normal baku

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Jawaban

P = 0,7257

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 0,6475

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Variansi

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Jawaban

Var(X) = 0,6475

4.Peluang

Jawaban: P = 0,1672

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 4) = 126·0,6⁴·0,4⁵ = 126·0,1296·0,01024 = 0,1672

Jawaban

P = 0,1672

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9332

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

Standarkan

z = (819 − 765)/36 = 1,5

Peluang

P = Φ(1,5) = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 75,4 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,05

z dari tabel

z ≈ −1,64

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 poin

Jawaban

x = 75,4 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 7,736

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margin galat

E = 2,947·10,5/√16 = 7,736

Jawaban

E = 7,736

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Bulatkan ke atas

n = 2655

Jawaban

n = 2655

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,04093

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5

z = (497,39 − 500)/1,5 = −1,74

Luas ekor

Φ(1,74) = 0,9591

1 − Φ(1,74) = 0,0409

nilai p

p = 0,04093

Jawaban

p = 0,04093

p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 1083

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,645·20/1)² = 1082

Bulatkan ke atas

n = 1083

Jawaban

n = 1083

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,931

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 377/6 = 62,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 776,8

Koefisien determinasi

r² = 112,5²/(17,5·776,8) = 0,931

Jawaban

r² = 0,931

Sekitar 93,1% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 5,493

Rata-rata

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 453/6 = 75,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114,5

Garis regresi

b = 114,5/17,5 = 6,543

a = 75,5 − 6,543·4,5 = 46,06

ŷ = 46,06 + 6,543·x

Selesaikan untuk x

x = (82 − 46,06)/6,543 = 5,493

Jawaban

x = 5,493

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1