Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
101520253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 54, 17, 10, 28, 26.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 115?

μ = 100σ = 15x = 115
P =
3.PeluangSedang
merah: 4biru: 5

Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

4 / 5
P =
4.PeluangSulit
xp(x)100,35200,2300,1400,35μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 20. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,2, 0,1, 0,35Y = 10X + 20
σY =
5.Distribusi normalSedang
25,141P = ?

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 25,1 dan 41 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 32σ = 6x1 = 25,1x2 = 41
P =
6.Distribusi normalSulit
0,02 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
n = 11, s = 5L = ?Ux̄ = 112,5E90%

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 112,5 dan simpangan baku s = 5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 112,5s = 590%t(10) = 1,812
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
n = 25Lσ = ?s = 4,695%

Diameter 25 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 4,6 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 24, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 12,401 dan 2,5% berada di atas 39,364.

n = 25s = 4,6 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,1452,145t = ?df = 14

15 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 5,57 dan simpangan baku selisihnya 9,8. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.

n = 15d̄ = 5,57sd = 9,8
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,9601,96

Sampel 49 pengukuran memiliki rata-rata 120,7. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 120,7σ = 8n = 4995%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy33855076097611781389xy510406080

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy18512155247427823091xy2025306080x = 25,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (25,5, 81) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(25,5, 81)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,73

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 135/5 = 27

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 27² + (−10)² + (−17)² + 1² + (−1)² = 1120

Simpangan baku

s = √(1120/4) = 16,73

Jawaban

s = 16,73
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1587

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 1

Tabel normal baku

Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587
3.Peluang

Jawaban: P = 0,1667

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0,1667

Jawaban

P = 0,1667
4.Peluang

Jawaban: σY = 128,4

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 24,5, Var(X) = 164,8, σX = 12,84

Perubahan linear

σY = |10|·12,84 = 128,4

Jawaban

σY = 128,4

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·24,5 + 20 = 265.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8081

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15
z₂ = (41 − 32)/6 = 1,5

Luas di antara

P = Φ(1,5) − Φ(−1,15) = 0,9332 − 0,1251 = 0,8081

Jawaban

P = 0,8081
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8133

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standarkan

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Peluang

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Jawaban

P = 0,8133
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 109,8

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margin galat

E = 1,812·5/√11 = 2,732

Selang

112,5 ± 2,732 → [109,8, 115,2]

Jawaban

batas bawah = 109,8
8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 6,399 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 24·4,6² = 507,8

Batas untuk σ²

507,8/39,364 = 12,9
507,8/12,401 = 40,95

Batas untuk σ

σ = √40,95 = 6,399 µm

Jawaban

σ = 6,399 µm

Selang 95% untuk σ: [3,592, 6,399] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,201

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Galat baku rata-rata selisih

SE = 9,8/√15 = 2,53

Statistik uji

t = 5,57/2,53 = 2,201

Jawaban

t = 2,201

Dengan df = 14, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,145; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 122,9

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·8/√49 = 2,24

Batas selang

U = 120,7 + 2,24 = 122,9

Jawaban

U = 122,9
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9759

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 391/6 = 65,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 355
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1845

Koefisien determinasi

r² = 355²/(70·1845) = 0,9759

Jawaban

r² = 0,9759

Sekitar 97,59% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 5,05

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 353/5 = 70,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 321

Garis regresi

b = 321/90 = 3,567
a = 70,6 − 3,567·24 = −15
ŷ = −15 + 3,567·x

Nilai prediksi

ŷ = −15 + 3,567·25,5 = 75,95

Residu

e = 81 − 75,95 = 5,05

Jawaban

e = 5,05

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1