Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
152025303540455055

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 48, 13, 56, 41, 56.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 54?

μ = 60σ = 12x = 54
P =
3.PeluangSedang
n = 8k = 3N = ?

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 8 orang? Urutan tidak penting.

n = 8k = 3
N =
4.PeluangSulit
€p(x)−100,79200,21900,01

Sebuah permainan berbiaya €10 untuk dimainkan. Anda memenangkan €30 dengan peluang 0,2 dan €200 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €10€30: p = 0,2€200: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di sebelah kanan z = 0,7939

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,7939. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,7939
z =
6.Distribusi normalSulit
μ = 250x = ?95%

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 95% data (persentil ke-95).

μ = 250σ = 5P = 95%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
n = 16, s = 1,5L = ?Ux̄ = 84,5E90%

Sebuah sampel berisi 16 unit memiliki rata-rata 84,5 dan simpangan baku s = 1,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 16x̄ = 84,5s = 1,590%t(15) = 1,753
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,02599%

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 99% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,025?

p = 0,5E = 0,02599%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,2622,262t = ?df = 9

10 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 7,15 dan simpangan baku selisihnya 7,8. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.

n = 10d̄ = 7,15sd = 7,8
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
μ₀x̄c

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 100 melawan H₁: μ < 100 dilakukan pada α = 0.01 dengan sampel berukuran 36; simpangan bakunya diketahui 18. Kenyataannya, rata-ratanya 94. Tentukan probabilitas galat tipe II β dalam persen.

μ₀ = 100μ = 94σ = 18n = 36α = 0,01
β = %
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy2941261782310271234xy510102030

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy136242344452559662xy246405060x = 1,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (1,5, 41) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 41)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 17,8

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 214/5 = 42,8

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 5,2² + (−29,8)² + 13,2² + (−1,8)² + 13,2² = 1267

Simpangan baku

s = √(1267/4) = 17,8

Jawaban

s = 17,8
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3085

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = −0,5

Tabel normal baku

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085
3.Peluang

Jawaban: N = 56

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

Jawaban

N = 56
4.Peluang

Jawaban: E(G) = −2 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 20 (p = 0,2), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,79)

Nilai harapan

E(G) = 20·0,2 + 190·0,01 − 10·0,79 = −2 €

Jawaban

E(G) = −2 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −0,82

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,7939 = 0,2061

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,2061 di dalam tabel dan baca z.

z = −0,82

Jawaban

z = −0,82
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 258,2 g

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Kembali ke x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Jawaban

x = 258,22 g
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 83,84

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Margin galat

E = 1,753·1,5/√16 = 0,6574

Selang

84,5 ± 0,6574 → [83,84, 85,16]

Jawaban

batas bawah = 83,84
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Bulatkan ke atas

n = 2655

Jawaban

n = 2655
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,899

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Galat baku rata-rata selisih

SE = 7,8/√10 = 2,467

Statistik uji

t = 7,15/2,467 = 2,899

Jawaban

t = 2,899

Dengan df = 9, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,262; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: β = 62,78 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 18/√36 = 3
x̄c = 100 − 2,326·3 = 93,02

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (93,02 − 94)/3 = −0,326

Galat tipe II

kuasa = P(Z < −0.326) = 37.22%
β = 100% − 37,22% = 62,78%

Jawaban

β = 62,78%
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9892

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 122/6 = 20,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176
Syy = Σ(y − ȳ)² = 447,3

Koefisien determinasi

r² = 176²/(70·447,3) = 0,9892

Jawaban

r² = 0,9892

Sekitar 98,92% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 2,633

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 295/6 = 49,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94,5

Garis regresi

b = 94,5/17,5 = 5,4
a = 49,17 − 5,4·3,5 = 30,27
ŷ = 30,27 + 5,4·x

Nilai prediksi

ŷ = 30,27 + 5,4·1,5 = 38,37

Residu

e = 41 − 38,37 = 2,633

Jawaban

e = 2,633

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1