Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 19, 35, 35, 46, 32, 56.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 40. Tentukan skor z z untuk nilai 452.

μ = 500σ = 40x = 452

z =

3.PeluangSedang

Sebuah dadu adil dilempar 5 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 5

P =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €5 untuk dimainkan. Anda memenangkan €20 dengan peluang 0,15 dan €50 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €5€20: p = 0,15€50: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,9700. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9700

z =

6.Distribusi normalSulit

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 10% data (persentil ke-10).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 30 unit memiliki rata-rata 33,5 dan simpangan baku s = 5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 30x̄ = 33,5s = 599%t(29) = 2,756

E =

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 6 petak, rata-rata hasil 70 kg, simpangan baku 1,5 kg. Kelompok petak 2: 6 petak, rata-rata 69 kg, simpangan baku 9 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 70s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 69s₂ = 990%t(10) = 1,812

batas atas = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 64 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 202,6 dan simpangan baku sampel 12. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,6s = 12n = 64

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1? Simpangan bakunya 5. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 5E = 195%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (17, 43) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(17, 43)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,64

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 223/6 = 37,17

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−18,17)² + (−2,167)² + (−2,167)² + 8,833² + (−5,167)² + 18,83² = 798,8

Simpangan baku

s = √(798,8/5) = 12,64

Jawaban

s = 12,64

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1,2

Standarkan

z = (452 − 500)/40 = −1,2

Jawaban

z = −1,2

3.Peluang

Jawaban: P = 0,5981

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Jawaban

P = 0,5981

4.Peluang

Jawaban: E(G) = 0,5 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 15 (p = 0,15), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)

Nilai harapan

E(G) = 15·0,15 + 45·0,05 − 5·0,8 = 0,5 €

Jawaban

E(G) = 0,5 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 2,17

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,9700)/2 = 0,9850

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9850 di dalam tabel dan baca z.

z = 2,17

Jawaban

z = 2,17

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 52,18 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Kembali ke x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 poin

Jawaban

x = 52,18 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,516

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Margin galat

E = 2,756·5/√30 = 2,516

Jawaban

E = 2,516

8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 7,75 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

s_p² = (5·1,5² + 5·9²)/10 = 41,63

s_p = 6,452

Margin galat

E = 1,812·6,452·√(1/6 + 1/6) = 6,75

Selang

1 ± 6,75 → [−5,75, 7,75]

Jawaban

batas atas = 7,75 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,733

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Statistik uji

t = (202,6 − 200)/1,5 = 1,733

Jawaban

t = 1,733

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 97

Selesaikan untuk n

n = (1,96·5/1)² = 96,04

Bulatkan ke atas

n = 97

Jawaban

n = 97

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9884

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 634/6 = 105,7

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 723

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3397

Koefisien korelasi

r = 723/√(157,5·3397) = 0,9884

Jawaban

r = 0,9884

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −3,2

Rata-rata

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 244/5 = 48,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

Garis regresi

b = 104/40 = 2,6

a = 48,8 − 2,6·18 = 2

ŷ = 2 + 2,6·x

Nilai prediksi

ŷ = 2 + 2,6·17 = 46,2

Residu

e = 43 − 46,2 = −3,2

Jawaban

e = −3,2

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1