Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 27, 35, 28, 46, 34, 52.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di bawah 55?
μ = 60σ = 5x = 55
P =
3.PeluangSedang
Sebuah dadu adil dilempar 7 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
n = 7
P =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 20. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3Y = −2X + 20
σY =
5.Distribusi normalSedang
X normal dengan rata-rata 120 mm dan simpangan baku 0,3 mm; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 80 mm dan simpangan baku 0,4 mm. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 199,3 mm. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,3 mm
P =
6.Distribusi normalSulit
tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 5% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata, berdasarkan 25 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 4,2. Berapa margin galat E₂ selang 95% berdasarkan 100 pengamatan?
99%n₁ = 25E₁ = 4,295%n₂ = 100
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 7 petak, rata-rata hasil 81,5 kg, simpangan baku 8,5 kg. Kelompok petak 2: 10 petak, rata-rata 72,5 kg, simpangan baku 7,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 81,5s₁ = 8,5n₂ = 10x̄₂ = 72,5s₂ = 7,599%t(15) = 2,947
batas atas = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 16 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 46,9 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,9s = 4n = 16
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 36 dari 120 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 19 dari 80 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 19n₂ = 80
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (5, 13) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(5, 13)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 10
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 222/6 = 37
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−2)² + (−9)² + 9² + (−3)² + 15² = 500
Simpangan baku
s = √(500/5) = 10
Jawaban
s = 10
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,1587
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1
Tabel normal baku
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Jawaban
P = 0,1587
3.Peluang
Jawaban: P = 0,7209
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Jawaban
P = 0,7209
4.Peluang
Jawaban: σY = 19,6
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 28, Var(X) = 96, σX = 9,798
Perubahan linear
σY = |−2|·9,798 = 19,6
Jawaban
σY = 19,6
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·28 + 20 = −36.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9192
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi jumlah
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standarkan
z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4
Ekor atas
P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192
Jawaban
P = 0,9192
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 189,5 cm
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,95
z dari tabel
z ≈ 1,64
Kembali ke satuan semula
x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm
Jawaban
x = 189,5 cm
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 1,598
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/100) = 0,3804
Margin baru
E₂ = 4,2·0,3804 = 1,598
Jawaban
E₂ = 1,598
8.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 20,5 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (6·8,5² + 9·7,5²)/15 = 62,65
sp = 7,915
Margin galat
E = 2,947·7,915·√(1/7 + 1/10) = 11,5
Selang
9 ± 11,5 → [−2,495, 20,5]
Jawaban
batas atas = 20,5 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −3,1
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Statistik uji
t = (46,9 − 50)/1 = −3,1
Jawaban
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = 0,9698
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 36/120 = 0,3
p̂₂ = 19/80 = 0,2375
p̂ = 55/200 = 0,275
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,275·0,725·(1/120 + 1/80)) = 0,06445
Statistik uji
z = (0,3 − 0,2375)/0,06445 = 0,9698
Jawaban
z = 0,9698
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9852
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 187/5 = 37,4
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41
Syy = Σ(y − ȳ)² = 173,2
Koefisien korelasi
r = 41/√(10·173,2) = 0,9852
Jawaban
r = 0,9852
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 4,995
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 65/6 = 10,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99
Garis regresi
b = 99/70 = 1,414
a = 10,83 − 1,414·7 = 0,9333
ŷ = 0,9333 + 1,414·x
Nilai prediksi
ŷ = 0,9333 + 1,414·5 = 8,005
Residu
e = 13 − 8,005 = 4,995
Jawaban
e = 4,995
Titik terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1