Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 52, 14, 32, 31, 45.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di bawah 76?
μ = 70σ = 10x = 76
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,2, 0,35, 0,1
Var(X) =
4.PeluangSulit
5 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,2. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 5p = 0,2
P =
5.Distribusi normalSedang
Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,9515. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,9515
z =
6.Distribusi normalSulit
berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 60% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 40 ponsel, rata-rata 100,5 h, simpangan baku diketahui 17 h. Model 2: 30 ponsel, rata-rata 99 h, simpangan baku diketahui 13 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 100,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 30x̄₂ = 99 hσ₂ = 13 h90%
E = h
8.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 11 petak, rata-rata hasil 42,5 kg, simpangan baku 10 kg. Kelompok petak 2: 11 petak, rata-rata 30,5 kg, simpangan baku 7 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 11x̄₁ = 42,5s₁ = 10n₂ = 11x̄₂ = 30,5s₂ = 795%t(20) = 2,086
batas bawah = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 16 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 496,4 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 496,4s = 8n = 16
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 70 dari 200 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 60 dari 150 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 70n₁ = 200x₂ = 60n₂ = 150
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (5, 12) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(5, 12)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 14,62
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 174/5 = 34,8
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 17,2² + (−20,8)² + (−2,8)² + (−3,8)² + 10,2² = 854,8
Simpangan baku
s = √(854,8/4) = 14,62
Jawaban
s = 14,62
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,7257
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 0,6
Tabel normal baku
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Jawaban
P = 0,7257
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 106
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 10·0,35 + 20·0,2 + 30·0,35 + 40·0,1 = 22
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,2 + 900·0,35 + 1600·0,1 = 590
Variansi
Var(X) = 590 − 22² = 106
Jawaban
Var(X) = 106
4.Peluang
Jawaban: P = 0,7373
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,85 = 0,3277
P(X = 1) = 5·0,2·0,84 = 0,4096
Jumlahkan
P = 0,3277 + 0,4096 = 0,7373
Jawaban
P = 0,7373
5.Distribusi normal
Jawaban: z = −1,66
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0,9515 = 0,0485
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,0485 di dalam tabel dan baca z.
z = −1,66
Jawaban
z = −1,66
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 248,8 g
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,4
z dari tabel
z ≈ −0,25
Kembali ke satuan semula
x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g
Jawaban
x = 248,8 g
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 5,899 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 100,5 − 99 = 1,5
Galat baku
SE = √(17²/40 + 13²/30) = 3,586
Margin galat
E = 1,645·3,586 = 5,899
Jawaban
E = 5,899 h
Selang memuat 0, jadi data tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.
8.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 4,323 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (10·10² + 10·7²)/20 = 74,5
sp = 8,631
Margin galat
E = 2,086·8,631·√(1/11 + 1/11) = 7,677
Selang
12 ± 7,677 → [4,323, 19,68]
Jawaban
batas bawah = 4,323 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −1,8
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Statistik uji
t = (496,4 − 500)/2 = −1,8
Jawaban
t = −1,8
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −0,958
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 70/200 = 0,35
p̂₂ = 60/150 = 0,4
p̂ = 130/350 = 0,3714
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,3714·0,6286·(1/200 + 1/150)) = 0,05219
Statistik uji
z = (0,35 − 0,4)/0,05219 = −0,958
Jawaban
z = −0,958
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9189
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 94/6 = 15,67
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 181,3
Koefisien determinasi
r² = −54²/(17,5·181,3) = 0,9189
Jawaban
r² = 0,9189
Sekitar 91,89% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = −4,257
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 138/6 = 23
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Garis regresi
b = 236/70 = 3,371
a = 23 − 3,371·7 = −0,6
ŷ = −0,6 + 3,371·x
Nilai prediksi
ŷ = −0,6 + 3,371·5 = 16,26
Residu
e = 12 − 16,26 = −4,257
Jawaban
e = −4,257
Titik terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1