Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 28, 32, 14, 35, 13.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di bawah 177,5?
μ = 170σ = 5x = 177,5
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3
σ =
4.PeluangSulit
7 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,5. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 7p = 0,5
P =
5.Distribusi normalSedang
Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,6664. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,6664
z =
6.Distribusi normalSulit
berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 25% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 112,5 dan simpangan baku s = 2,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
n = 21x̄ = 112,5s = 2,599%t(20) = 2,845
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 33. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?
σ = 33E = 1,599%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 64 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 49,1 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 49,1s = 4n = 64
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 50,9. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
x̄ = 50,9σ = 8n = 6490%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 5Σx = 15Σy = 79Σx² = 55Σy² = 1341Σxy = 207
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 17) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 17)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 10,26
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 122/5 = 24,4
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 3,6² + 7,6² + (−10,4)² + 10,6² + (−11,4)² = 421,2
Simpangan baku
s = √(421,2/4) = 10,26
Jawaban
s = 10,26
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,9332
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 1,5
Tabel normal baku
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Jawaban
P = 0,9332
3.Peluang
Jawaban: σ = 2,059
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,15 + 2·0,2 + 4·0,35 + 6·0,3 = 3,6
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,15 + 4·0,2 + 16·0,35 + 36·0,3 = 17,2
Variansi
Var(X) = 17,2 − 3,6² = 4,24
σ = √4,24 = 2,059
Jawaban
σ = 2,059
4.Peluang
Jawaban: P = 0,0625
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,57 = 0,007813
P(X = 1) = 7·0,5·0,56 = 0,05469
Jumlahkan
P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625
Jawaban
P = 0,0625
5.Distribusi normal
Jawaban: z = −0,43
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0,6664 = 0,3336
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,3336 di dalam tabel dan baca z.
z = −0,43
Jawaban
z = −0,43
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 246,7 g
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,25
z dari tabel
z ≈ −0,67
Kembali ke satuan semula
x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g
Jawaban
x = 246,7 g
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 110,9
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Margin galat
E = 2,845·2,5/√21 = 1,552
Selang
112,5 ± 1,552 → [110,9, 114,1]
Jawaban
batas bawah = 110,9
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 3212
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2,576·33/1,5)² = 3212
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 3212
Jawaban
n = 3212
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −1,8
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5
Statistik uji
t = (49,1 − 50)/0,5 = −1,8
Jawaban
t = −1,8
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: U = 52,55
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,645·8/√64 = 1,645
Batas selang
U = 50,9 + 1,645 = 52,55
Jawaban
U = 52,55
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = −0,9848
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 207 − 15·79/5 = −30
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1341 − 79²/5 = 92,8
Koefisien korelasi
r = −30/√(10·92,8) = −0,9848
Jawaban
r = −0,9848
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = −4
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 126/6 = 21
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
Garis regresi
b = −45/17,5 = −2,571
a = 21 − (−2,571)·3,5 = 30
ŷ = 30 − 2,571·x
Nilai prediksi
ŷ = 30 + (−2,571)·3,5 = 21
Residu
e = 17 − 21 = −4
Jawaban
e = −4
Titik terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1