Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 29, 43, 40, 12, 33, 28.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 15. Tentukan skor z z untuk nilai 185.

μ = 170σ = 15x = 185

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,3

σ =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 4. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 174,5 dan 190,95 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,5x₂ = 190,95

P =

6.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 80% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin80%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 15 unit memiliki rata-rata 32,5 dan simpangan baku s = 20. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 15x̄ = 32,5s = 2099%t(14) = 2,977

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 11. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 4?

σ = 11E = 495%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 73,45 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,45s = 5n = 100

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 200 melawan H₁: μ > 200 dilakukan pada α = 0,05 dengan sampel berukuran 100; simpangan bakunya diketahui 10. Kenyataannya, rata-ratanya 202,8. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.

μ₀ = 200μ = 202,8σ = 10n = 100α = 0,05

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (4,5, 20) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 20)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 10,98

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 185/6 = 30,83

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−1,833)² + 12,17² + 9,167² + (−18,83)² + 2,167² + (−2,833)² = 602,8

Simpangan baku

s = √(602,8/5) = 10,98

Jawaban

s = 10,98

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 1

Standarkan

z = (185 − 170)/15 = 1

Jawaban

z = 1

3.Peluang

Jawaban: σ = 1,241

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,4

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,5

Variansi

Var(X) = 3,5 − 1,4² = 1,54

σ = √1,54 = 1,241

Jawaban

σ = 1,241

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 22,16

Sebaran X

μ = 3,7, Var(X) = 4,91, σ_X = 2,216

Perubahan linear

σ_Y = |10|·2,216 = 22,16

Jawaban

σ_Y = 22,16

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·3,7 + 4 = 41.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,6593

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5

z₂ = (190,95 − 178)/7 = 1,85

Luas di antara

P = Φ(1,85) − Φ(−0,5) = 0,9678 − 0,3085 = 0,6593

Jawaban

P = 0,6593

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 56,6 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,2

z dari tabel

z ≈ −0,84

Kembali ke satuan semula

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 poin

Jawaban

x = 56,6 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 17,13

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Margin galat

E = 2,977·20/√15 = 15,37

Selang

32,5 ± 15,37 → [17,13, 47,87]

Jawaban

batas bawah = 17,13

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 30

Selesaikan untuk n

n = (1,96·11/4)² = 29,05

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 30

Jawaban

n = 30

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −3,1

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Statistik uji

t = (73,45 − 75)/0,5 = −3,1

Jawaban

t = −3,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: 1 − β = 87,6 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 200 + 1,645·1 = 201,6

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (201,6 − 202,8)/1 = −1,155

Daya

kuasa = P(Z > −1,155) = 87,6%

1 − β = 87,6%

Jawaban

1 − β = 87,6%

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,8728

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 305/5 = 61

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 290

Koefisien korelasi

r = 47/√(10·290) = 0,8728

Jawaban

r = 0,8728

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 5,233

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 109/6 = 18,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −59,5

Garis regresi

b = −59,5/17,5 = −3,4

a = 18,17 − (−3,4)·3,5 = 30,07

ŷ = 30,07 − 3,4·x

Nilai prediksi

ŷ = 30,07 + (−3,4)·4,5 = 14,77

Residu

e = 20 − 14,77 = 5,233

Jawaban

e = 5,233

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1