Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang
144 kg141,2 kgT = X₁ + … + X₁₂?

Massa kotak saling bebas dan normal dengan rata-rata 12 kg dan simpangan baku 0,8 kg. Cari peluang P bahwa massa total 12 di antaranya di bawah 141,2 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 141.2 kg
P =
2.Distribusi normalSulit
10 g0X − Y?

Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
3.Selang kepercayaanSedang
n = 25, s = 9L = ?Ux̄ = 105,5E90%

Sebuah sampel berisi 25 unit memiliki rata-rata 105,5 dan simpangan baku s = 9. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 25x̄ = 105,5s = 990%t(24) = 1,711
batas bawah =
4.Selang kepercayaanSulit
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0290%

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 90% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,02?

p = 0,5E = 0,0290%
n =
5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,2012,201t = ?df = 11

12 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 0,6 dan simpangan baku selisihnya 1,6. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.

n = 12d̄ = 0,6sd = 1,6
t =
6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,9601,96

Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 203,3. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 203,3σ = 15n = 3695%
L =
7.Regresi linear & korelasiSedang
xy274961181310171221xy510101520

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 78Σx² = 364Σy² = 1150Σxy = 642
r =
8.Regresi linear & korelasiSulit
xy126224325422522616xy2462025x = 1,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (1,5, 28) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 28)
e =
9.Uji chi-kuadratSedang
bussepedamobilTotalmahasiswa27313290staf8432071Total357452161

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “staf, bus”.

total baris = 71total kolom = 35N = 161
E =
10.Uji chi-kuadratSulit
yatidakTotallini 1572380lini 2461460lini 3231740Total12654180dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,05 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 1803 × 2α = 0,05
χ² =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1562

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg

Standarkan

z = (141,2 − 144)/2,771 = −1,01

Peluang

P = Φ(−1,01) = 0,1562

Jawaban

P = 0,1562
2.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standarkan

z = (0 − 10)/10 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413
3.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 102,4

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Margin galat

E = 1,711·9/√25 = 3,08

Selang

105,5 ± 3,08 → [102,4, 108,6]

Jawaban

batas bawah = 102,4
4.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691

Bulatkan ke atas

n = 1692

Jawaban

n = 1692
5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,299

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Galat baku rata-rata selisih

SE = 1,6/√12 = 0,4619

Statistik uji

t = 0,6/0,4619 = 1,299

Jawaban

t = 1,299

Dengan df = 11, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,201; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 198,4

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·15/√36 = 4,9

Batas selang

L = 203,3 − 4,9 = 198,4

Jawaban

L = 198,4
7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9839

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 642 − 42·78/6 = 96
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1150 − 78²/6 = 136

Koefisien korelasi

r = 96/√(70·136) = 0,9839

Jawaban

r = 0,9839
8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 2,129

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 135/6 = 22,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5

Garis regresi

b = −29,5/17,5 = −1,686
a = 22,5 − (−1,686)·3,5 = 28,4
ŷ = 28,4 − 1,686·x

Nilai prediksi

ŷ = 28,4 + (−1,686)·1,5 = 25,87

Residu

e = 28 − 25,87 = 2,129

Jawaban

e = 2,129

Titik terletak di atas garis.

9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: E = 15,43

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

E = 71·35/161 = 15,43

Jawaban

E = 15,43
10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 4,306

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

lini 1: 56, 24
lini 2: 42, 18
lini 3: 28, 12

Statistik chi-kuadrat

χ² = (57 − 56)²/56 + (23 − 24)²/24 + (46 − 42)²/42 + (14 − 18)²/18 + (23 − 28)²/28 + (17 − 12)²/12
χ² = 4,306

Keputusan

df = 2, χ²crit = 5,991
4,306 < 5,991

Jawaban

χ² = 4,306

χ² di bawah nilai kritis, sehingga H₀ tidak ditolak: tidak ada bukti signifikan adanya hubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference