Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji: χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 120 mm dan simpangan baku 0,3 mm; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 80 mm dan simpangan baku 0,4 mm. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 200,6 mm. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,6 mm

P =

2.Distribusi normalSulit

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 80% data (persentil ke-80).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = poin

3.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 45,5 dan simpangan baku s = 12. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 45,5s = 1299%t(10) = 3,169

batas bawah =

4.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 31. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 4?

σ = 31E = 490%

n =

5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 7 siswa, rata-rata nilai 26,5, simpangan baku 5. Kelompok 2: 19 siswa, rata-rata nilai 23,9, simpangan baku 8. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 7x̄₁ = 26,5s₁ = 5n₂ = 19x̄₂ = 23,9s₂ = 8

t =

6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 50 melawan H₁: μ > 50 dilakukan pada α = 0,10 dengan sampel berukuran 36; simpangan bakunya diketahui 15. Kenyataannya, rata-ratanya 56,25. Tentukan probabilitas galat tipe II β dalam persen.

μ₀ = 50μ = 56,25σ = 15n = 36α = 0,10

β = %

7.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

8.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 6,5.

n = 6x = 6,5

ŷ =

9.Uji chi-kuadratSedang

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “perdesaan, sedang”.

total baris = 91total kolom = 33N = 148

E =

10.Uji chi-kuadratSulit

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,01 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1151

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standarkan

z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2

Ekor atas

P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151

Jawaban

P = 0,1151

2.Distribusi normal

Jawaban: x = 112,6 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Kembali ke x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 poin

Jawaban

x = 112,62 poin

3.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 34,03

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Margin galat

E = 3,169·12/√11 = 11,47

Selang

45,5 ± 11,47 → [34,03, 56,97]

Jawaban

batas bawah = 34,03

4.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 163

Selesaikan untuk n

n = (1,645·31/4)² = 162,5

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 163

Jawaban

n = 163

5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 0,7984

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

s_p² = (6·5² + 18·8²)/24 = 54,25

s_p = 7,365

Galat baku

SE = 7,365·√(1/7 + 1/19) = 3,257

Statistik uji

t = (26,5 − 23,9)/3,257 = 0,7984

Jawaban

t = 0,7984

Dengan df = 24, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,064; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: β = 11,16 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 50 + 1,282·2,5 = 53,2

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (53,2 − 56,25)/2,5 = −1,218

Galat tipe II

kuasa = P(Z > −1,218) = 88,84%

β = 100% − 88,84% = 11,16%

Jawaban

β = 11,16%

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9722

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 728/6 = 121,3

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 354

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1841

Koefisien determinasi

r² = 354²/(70·1841) = 0,9722

Jawaban

r² = 0,9722

Sekitar 97,22% variasi y dijelaskan oleh garis.

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 72,3

Rata-rata

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 404/6 = 67,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 87

Garis regresi

b = 87/17,5 = 4,971

a = 67,33 − 4,971·5,5 = 39,99

ŷ = 39,99 + 4,971·x

Prediksi

ŷ = 39,99 + 4,971·6,5 = 72,3

Jawaban

ŷ = 72,3

9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: E = 20,29

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

E = 91·33/148 = 20,29

Jawaban

E = 20,29

10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 4,34

Frekuensi harapan

pabrik A: 40, 60

pabrik B: 24, 36

pabrik C: 16, 24

Statistik chi-kuadrat

χ² = (40 − 40)²/40 + (60 − 60)²/60 + (19 − 24)²/24 + (41 − 36)²/36 + (21 − 16)²/16 + (19 − 24)²/24

χ² = 4,34

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 9,210

4,34 < 9,210

Jawaban

χ² = 4,34

χ² di bawah nilai kritis, sehingga H₀ tidak ditolak: tidak ada bukti signifikan adanya hubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference