Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang
425 kg384,8 kgT = X₁ + … + X₅?

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 5 di antaranya di bawah 384,8 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 384.8 kg
P =
2.Distribusi normalSulit
10 cm0X − Y?

Tinggi badan X pria dan Y wanita dalam suatu kelompok saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 180 cm dan simpangan baku 10 cm, Y memiliki rata-rata 170 cm dan simpangan baku 12 cm. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
3.Selang kepercayaanSedang
n = 11, s = 8,5L = ?Ux̄ = 38,5E99%

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 38,5 dan simpangan baku s = 8,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 38,5s = 8,599%t(10) = 3,169
batas bawah =
4.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(24) = 2,0640L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 11 petak, rata-rata hasil 26,5 kg, simpangan baku 1 kg. Kelompok petak 2: 15 petak, rata-rata 27 kg, simpangan baku 8 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 26,5s₁ = 1n₂ = 15x̄₂ = 27s₂ = 895%t(24) = 2,064
batas bawah = kg
5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,06402,064

Sampel 25 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 499,1 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,1s = 5n = 25
t =
6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,64501,645

Sampel 25 pengukuran memiliki rata-rata 48,2. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 48,2σ = 15n = 2590%
U =
7.Regresi linear & korelasiSedang
xy349558767984119313101xy5106080100

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6
r² =
8.Regresi linear & korelasiSulit
xy143250353466571671xy246506070x = 3,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 57) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 57)
e =
9.Uji chi-kuadratSedang
bussepedamobilTotalmahasiswa13382576staf15163869Total285463145

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “staf, sepeda”.

total baris = 69total kolom = 54N = 145
E =
10.Uji chi-kuadratSulit
lulustidak lulusTotalusia 18–306535100usia 31–50344680usia 51+213960Total120120240dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,01 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 2403 × 2α = 0,01
χ² =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,06681

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26,83 kg

Standarkan

z = (384,8 − 425)/26,83 = −1,5

Peluang

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Jawaban

P = 0,06681
2.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7389

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standarkan

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Peluang

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Jawaban

P = 0,7389
3.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 30,38

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Margin galat

E = 3,169·8,5/√11 = 8,122

Selang

38,5 ± 8,122 → [30,38, 46,62]

Jawaban

batas bawah = 30,38
4.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −5,534 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (10·1² + 14·8²)/24 = 37,75
sp = 6,144

Margin galat

E = 2,064·6,144·√(1/11 + 1/15) = 5,034

Selang

−0,5 ± 5,034 → [−5,534, 4,534]

Jawaban

batas bawah = −5,534 kg
5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −0,9

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statistik uji

t = (499,1 − 500)/1 = −0,9

Jawaban

t = −0,9
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 53,14

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,645·15/√25 = 4,935

Batas selang

U = 48,2 + 4,935 = 53,14

Jawaban

U = 53,14
7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9883

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 452/6 = 75,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 382
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2109

Koefisien determinasi

r² = 382²/(70·2109) = 0,9883

Jawaban

r² = 0,9883

Sekitar 98,83% variasi y dijelaskan oleh garis.

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −2

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 354/6 = 59

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

Garis regresi

b = 108/17,5 = 6,171
a = 59 − 6,171·3,5 = 37,4
ŷ = 37,4 + 6,171·x

Nilai prediksi

ŷ = 37,4 + 6,171·3,5 = 59

Residu

e = 57 − 59 = −2

Jawaban

e = −2

Titik terletak di bawah garis.

9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: E = 25,7

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

E = 69·54/145 = 25,7

Jawaban

E = 25,7
10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 16,2

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

usia 18–30: 50, 50
usia 31–50: 40, 40
usia 51+: 30, 30

Statistik chi-kuadrat

χ² = (65 − 50)²/50 + (35 − 50)²/50 + (34 − 40)²/40 + (46 − 40)²/40 + (21 − 30)²/30 + (39 − 30)²/30
χ² = 16,2

Keputusan

df = 2, χ²crit = 9,210
16,2 > 9,210

Jawaban

χ² = 16,2

χ² di atas nilai kritis, sehingga H₀ ditolak: variabel-variabelnya tampak berhubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference