Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di antara −z dan z = 0,9233

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,9233. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9233
z =
2.Distribusi normalSulit
557085100115130145poinbawah 25%

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 25% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin25%
x = poin
3.Selang kepercayaanSedang
n = 21, s = 2,5L = ?Ux̄ = 44E99%

Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 44 dan simpangan baku s = 2,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 21x̄ = 44s = 2,599%t(20) = 2,845
batas bawah =
4.Selang kepercayaanSulit
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

Simpangan baku populasi adalah 15. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 15E = 1,599%
n =
5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,01102,011

Sampel 49 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 202,6 dan simpangan baku sampel 15. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,6s = 15n = 49
t =
6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
μ₀x̄c

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 200 melawan H₁: μ > 200 dilakukan pada α = 0,05 dengan sampel berukuran 64; simpangan bakunya diketahui 12. Kenyataannya, rata-ratanya 203,3. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.

μ₀ = 200μ = 203,3σ = 12n = 64α = 0,05
1 − β = %
7.Regresi linear & korelasiSedang
xy18452161246327833082xy2025306080

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5
r =
8.Regresi linear & korelasiSulit
xy124218317413514612xy246152025x = 3,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 19) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 19)
e =
9.Uji chi-kuadratSedang
bussepedamobilTotalmahasiswa31253591staf293141101Total605676192

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “staf, mobil”.

total baris = 101total kolom = 76N = 192
E =
10.Uji chi-kuadratSulit
yatidakTotallini 1261440lini 26436100lini 3206080Total110110220dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,05 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 2203 × 2α = 0,05
χ² =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,77

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,9233)/2 = 0,9616

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9616 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,77

Jawaban

z = 1,77
2.Distribusi normal

Jawaban: x = 90 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,25

z dari tabel

z ≈ −0,67

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 0,67·15 = 90 poin

Jawaban

x = 90 poin
3.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 42,45

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Margin galat

E = 2,845·2,5/√21 = 1,552

Selang

44 ± 1,552 → [42,45, 45,55]

Jawaban

batas bawah = 42,45
4.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 664

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·15/1,5)² = 663,6

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 664

Jawaban

n = 664
5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,213

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Statistik uji

t = (202,6 − 200)/2,143 = 1,213

Jawaban

t = 1,213
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: 1 − β = 71,06 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 200 + 1,645·1,5 = 202,5

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (202,5 − 203,3)/1,5 = −0,555

Daya

kuasa = P(Z > −0,555) = 71,06%
1 − β = 71,06%

Jawaban

1 − β = 71,06%
7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,952

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 334/5 = 66,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1017

Koefisien korelasi

r = 288/√(90·1017) = 0,952

Jawaban

r = 0,952
8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 2,667

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 98/6 = 16,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38

Garis regresi

b = −38/17,5 = −2,171
a = 16,33 − (−2,171)·3,5 = 23,93
ŷ = 23,93 − 2,171·x

Nilai prediksi

ŷ = 23,93 + (−2,171)·3,5 = 16,33

Residu

e = 19 − 16,33 = 2,667

Jawaban

e = 2,667

Titik terletak di atas garis.

9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: E = 39,98

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

E = 101·76/192 = 39,98

Jawaban

E = 39,98
10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 31,44

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

lini 1: 20, 20
lini 2: 50, 50
lini 3: 40, 40

Statistik chi-kuadrat

χ² = (26 − 20)²/20 + (14 − 20)²/20 + (64 − 50)²/50 + (36 − 50)²/50 + (20 − 40)²/40 + (60 − 40)²/40
χ² = 31,44

Keputusan

df = 2, χ²crit = 5,991
31,44 > 5,991

Jawaban

χ² = 31,44

χ² di atas nilai kritis, sehingga H₀ ditolak: variabel-variabelnya tampak berhubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference