Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji: χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 120 mm dan simpangan baku 0,3 mm; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 80 mm dan simpangan baku 0,4 mm. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 200,6 mm. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,6 mm

P =

2.Distribusi normalSulit

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

3.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 20 unit memiliki rata-rata 40,5 dan simpangan baku s = 16,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 20x̄ = 40,5s = 16,599%t(19) = 2,861

batas bawah =

4.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 40. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 4?

σ = 40E = 495%

n =

5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 40 komponen memiliki rata-rata panjang 54 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 18 mm. Lini 2: sampel 40 komponen memiliki rata-rata 62,1 mm, simpangan baku diketahui 10 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 40x̄₁ = 54 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 40x̄₂ = 62,1 mmσ₂ = 10 mm

z =

6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2? Simpangan bakunya 4. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 4E = 290%

n =

7.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

8.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (9, 29) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(9, 29)

e =

9.Uji chi-kuadratSedang

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1802 × 2

χ² =

10.Uji chi-kuadratSulit

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,05 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1151

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standarkan

z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2

Ekor atas

P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151

Jawaban

P = 0,1151

2.Distribusi normal

Jawaban: x = 22,13 min

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Jawaban

x = 22,13 min

3.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 29,94

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Margin galat

E = 2,861·16,5/√20 = 10,56

Selang

40,5 ± 10,56 → [29,94, 51,06]

Jawaban

batas bawah = 29,94

4.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 385

Selesaikan untuk n

n = (1,96·40/4)² = 384,2

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 385

Jawaban

n = 385

5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −2,488

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(18²/40 + 10²/40) = √10,6 = 3,256

Statistik uji

z = (54 − 62,1)/3,256 = −2,488

Jawaban

z = −2,488

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 11

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,645·4/2)² = 10,82

Bulatkan ke atas

n = 11

Jawaban

n = 11

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9726

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 544/5 = 108,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 555

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3519

Koefisien determinasi

r² = 555²/(90·3519) = 0,9726

Jawaban

r² = 0,9726

Sekitar 97,26% variasi y dijelaskan oleh garis.

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −3,05

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 107/5 = 21,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

Garis regresi

b = 142/40 = 3,55

a = 21,4 − 3,55·6 = 0,1

ŷ = 0,1 + 3,55·x

Nilai prediksi

ŷ = 0,1 + 3,55·9 = 32,05

Residu

e = 29 − 32,05 = −3,05

Jawaban

e = −3,05

Titik terletak di bawah garis.

9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 5,104

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

pria: 60·72/180 = 24, 60·108/180 = 36

wanita: 120·72/180 = 48, 120·108/180 = 72

Statistik chi-kuadrat

χ² = (31 − 24)²/24 + (29 − 36)²/36 + (41 − 48)²/48 + (79 − 72)²/72

χ² = 5,104

Jawaban

χ² = 5,104

df = 1. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 3,841, sehingga H₀ (independensi) ditolak.

10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 0,1215

Frekuensi harapan

pabrik A: 32, 48

pabrik B: 24, 36

pabrik C: 32, 48

Statistik chi-kuadrat

χ² = (32 − 32)²/32 + (48 − 48)²/48 + (25 − 24)²/24 + (35 − 36)²/36 + (31 − 32)²/32 + (49 − 48)²/48

χ² = 0,1215

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 5,991

0,1215 < 5,991

Jawaban

χ² = 0,1215

χ² di bawah nilai kritis, sehingga H₀ tidak ditolak: tidak ada bukti signifikan adanya hubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference