Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang
250 kg249,2 kgT = X₁ + … + X₁₀?

Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 10 di antaranya melebihi 249,2 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 249,2 kg
P =
2.Distribusi normalSulit
0,03 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
3.Selang kepercayaanSedang
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 80 ponsel, rata-rata 102,5 h, simpangan baku diketahui 16 h. Model 2: 80 ponsel, rata-rata 99,5 h, simpangan baku diketahui 8 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 102,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 80x̄₂ = 99,5 hσ₂ = 8 h99%
E = h
4.Selang kepercayaanSulit
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0595%

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 95% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,05?

p = 0,5E = 0,0595%
n =
5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,99801,998

Sampel 64 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 71,63 dan simpangan baku sampel 15. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,63s = 15n = 64
t =
6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,64501,645

Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 496,3. Simpangan baku populasi 20. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 496,3σ = 20n = 3690%
U =
7.Regresi linear & korelasiSedang
xy361472569677787895xy4686080

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 33Σy = 461Σx² = 199Σy² = 36189Σxy = 2647
r =
8.Regresi linear & korelasiSulit
xy3425407469531158xy510405060ŷ = 55

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 55?

n = 5ŷ = 55
x =
9.Uji chi-kuadratSedang
tanpa cacatcacat ringancacat beratTotalshift siang164559120shift malam322761120Total4872120240

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 2402 × 3
χ² =
10.Uji chi-kuadratSulit
lulustidak lulusTotalusia 18–3035540usia 31–5031940usia 51+461460Total11228140dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,01 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 1403 × 2α = 0,01
χ² =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,695

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 250 kg, σT = 0,5·√10 = 1,581 kg

Standarkan

z = (249,2 − 250)/1,581 = −0,51

Peluang

P = 1 − Φ(−0,51) = 0,695

Jawaban

P = 0,695
2.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9515

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standarkan

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Peluang

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Jawaban

P = 0,9515
3.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 5,152 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 102,5 − 99,5 = 3

Galat baku

SE = √(16²/80 + 8²/80) = 2

Margin galat

E = 2,576·2 = 5,152

Jawaban

E = 5,152 h

Selang memuat 0, jadi data tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.

4.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2

Bulatkan ke atas

n = 385

Jawaban

n = 385
5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,797

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statistik uji

t = (71,63 − 75)/1,875 = −1,797

Jawaban

t = −1,797
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| < 1.998, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 501,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,645·20/√36 = 5,483

Batas selang

U = 496,3 + 5,483 = 501,8

Jawaban

U = 501,8
7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9613

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 2647 − 33·461/6 = 111,5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 36189 − 461²/6 = 768,8

Koefisien korelasi

r = 111,5/√(17,5·768,8) = 0,9613

Jawaban

r = 0,9613
8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 10,2

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 239/5 = 47,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

Garis regresi

b = 90/40 = 2,25
a = 47,8 − 2,25·7 = 32,05
ŷ = 32,05 + 2,25·x

Selesaikan untuk x

x = (55 − 32,05)/2,25 = 10,2

Jawaban

x = 10,2
9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 9,867

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

shift siang: 120·48/240 = 24, 120·72/240 = 36, 120·120/240 = 60
shift malam: 120·48/240 = 24, 120·72/240 = 36, 120·120/240 = 60

Statistik chi-kuadrat

χ² = (16 − 24)²/24 + (45 − 36)²/36 + (59 − 60)²/60 + (32 − 24)²/24 + (27 − 36)²/36 + (61 − 60)²/60
χ² = 9,867

Jawaban

χ² = 9,867

df = 2. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 5,991, sehingga H₀ (independensi) ditolak.

10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 1,979

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

usia 18–30: 32, 8
usia 31–50: 32, 8
usia 51+: 48, 12

Statistik chi-kuadrat

χ² = (35 − 32)²/32 + (5 − 8)²/8 + (31 − 32)²/32 + (9 − 8)²/8 + (46 − 48)²/48 + (14 − 12)²/12
χ² = 1,979

Keputusan

df = 2, χ²crit = 9,210
1,979 < 9,210

Jawaban

χ² = 1,979

χ² di bawah nilai kritis, sehingga H₀ tidak ditolak: tidak ada bukti signifikan adanya hubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference