Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang
460510P = ?

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 460 dan 510 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 500σ = 40x1 = 460x2 = 510
P =
2.Distribusi normalSulit
4 s0X − Y?

Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
3.Selang kepercayaanSedang
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 30 ponsel, rata-rata 57 h, simpangan baku diketahui 8 h. Model 2: 40 ponsel, rata-rata 52,5 h, simpangan baku diketahui 9 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 57 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 52,5 hσ₂ = 9 h95%
E = h
4.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(14) = 1,7610LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 10 petak, rata-rata hasil 12,5 kg, simpangan baku 8,5 kg. Kelompok petak 2: 6 petak, rata-rata 7,5 kg, simpangan baku 4 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 12,5s₁ = 8,5n₂ = 6x̄₂ = 7,5s₂ = 490%t(14) = 1,761
E = kg
5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,0932,093t = ?df = 19

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 15 siswa, rata-rata nilai 28,5, simpangan baku 11,5. Kelompok 2: 6 siswa, rata-rata nilai 39,3, simpangan baku 5. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 15x̄₁ = 28,5s₁ = 11,5n₂ = 6x̄₂ = 39,3s₂ = 5
t =
6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
μ₀x̄c

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 500 melawan H₁: μ < 500 dilakukan pada α = 0.10 dengan sampel berukuran 36; simpangan bakunya diketahui 15. Kenyataannya, rata-ratanya 494. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.

μ₀ = 500μ = 494σ = 15n = 36α = 0,10
1 − β = %
7.Regresi linear & korelasiSedang
xy363577795910211117xy5106080100120

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5
r =
8.Regresi linear & korelasiSulit
xy167519101221182513728160xy2025100150x = 20,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (20,5, 105) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(20,5, 105)
e =
9.Uji chi-kuadratSedang
batuktidak batukTotalperokok671380bukan perokok374380Total10456160

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1602 × 2
χ² =
10.Uji chi-kuadratSulit
lulustidak lulusTotallini 131940lini 2221840lini 359160Total11228140dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,01 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 1403 × 2α = 0,01
χ² =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,4401

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (460 − 500)/40 = −1
z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25

Luas di antara

P = Φ(0,25) − Φ(−1) = 0,5987 − 0,1587 = 0,4401

Jawaban

P = 0,4401
2.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standarkan

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881
3.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 3,997 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 57 − 52,5 = 4,5

Galat baku

SE = √(8²/30 + 9²/40) = 2,039

Margin galat

E = 1,96·2,039 = 3,997

Jawaban

E = 3,997 h

Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.

4.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 6,568 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (9·8,5² + 5·4²)/14 = 52,16
sp = 7,222

Margin galat

E = 1,761·7,222·√(1/10 + 1/6) = 6,568

Jawaban

E = 6,568 kg
5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,192

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

sp² = (14·11,5² + 5·5²)/19 = 104
sp = 10,2

Galat baku

SE = 10,2·√(1/15 + 1/6) = 4,927

Statistik uji

t = (28,5 − 39,3)/4,927 = −2,192

Jawaban

t = −2,192

Dengan df = 19, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,093; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: 1 − β = 86,82 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 500 − 1,282·2,5 = 496,8

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (496,8 − 494)/2,5 = 1,118

Daya

kuasa = P(Z < 1.118) = 86.82%
1 − β = 86,82%

Jawaban

1 − β = 86,82%
7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9933

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 454/5 = 90,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 266
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1793

Koefisien korelasi

r = 266/√(40·1793) = 0,9933

Jawaban

r = 0,9933
8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −2,9

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 591/5 = 118,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 618

Garis regresi

b = 618/90 = 6,867
a = 118,2 − 6,867·22 = −32,87
ŷ = −32,87 + 6,867·x

Nilai prediksi

ŷ = −32,87 + 6,867·20,5 = 107,9

Residu

e = 105 − 107,9 = −2,9

Jawaban

e = −2,9

Titik terletak di bawah garis.

9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 24,73

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

perokok: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28
bukan perokok: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28

Statistik chi-kuadrat

χ² = (67 − 52)²/52 + (13 − 28)²/28 + (37 − 52)²/52 + (43 − 28)²/28
χ² = 24,73

Jawaban

χ² = 24,73

df = 1. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 3,841, sehingga H₀ (independensi) ditolak.

10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 28,39

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

lini 1: 32, 8
lini 2: 32, 8
lini 3: 48, 12

Statistik chi-kuadrat

χ² = (31 − 32)²/32 + (9 − 8)²/8 + (22 − 32)²/32 + (18 − 8)²/8 + (59 − 48)²/48 + (1 − 12)²/12
χ² = 28,39

Keputusan

df = 2, χ²crit = 9,210
28,39 > 9,210

Jawaban

χ² = 28,39

χ² di atas nilai kritis, sehingga H₀ ditolak: variabel-variabelnya tampak berhubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference