Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang
144 kg148,2 kgT = X₁ + … + X₁₂?

Massa kotak saling bebas dan normal dengan rata-rata 12 kg dan simpangan baku 0,8 kg. Cari peluang P bahwa massa total 12 di antaranya di bawah 148,2 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 148.2 kg
P =
2.Distribusi normalSulit
0,04 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,04 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
3.Selang kepercayaanSedang
n = 15, sd​ = 6,10LUd̄ = 9,7E = ?90%

Tekanan darah 15 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 9,7 dan simpangan baku 6,1. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 15d̄ = 9,7sd = 6,190%t(14) = 1,761
E = mmHg
4.Selang kepercayaanSulit
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,02590%

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 90% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,025?

p = 0,5E = 0,02590%
n =
5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−1,961,96z = ?

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 40 komponen memiliki rata-rata panjang 134 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 4 mm. Lini 2: sampel 30 komponen memiliki rata-rata 131,1 mm, simpangan baku diketahui 17 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 40x̄₁ = 134 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 30x̄₂ = 131,1 mmσ₂ = 17 mm
z =
6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
−1,961,96z = ?

Dalam suatu uji klinis, 30 dari 100 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 30 dari 200 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 30n₂ = 200
z =
7.Regresi linear & korelasiSedang
xy284116208261031xy510102030

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 96Σx² = 220Σy² = 2222Σxy = 698
r =
8.Regresi linear & korelasiSulit
xy176819772187231002511127119xy202580100120x = 22

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (22, 92) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(22, 92)
e =
9.Uji chi-kuadratSedang
bussepedamobilTotalmahasiswa43201477staf431744104Total863758181

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “staf, sepeda”.

total baris = 104total kolom = 37N = 181
E =
10.Uji chi-kuadratSulit

Uji independensi chi-kuadrat dilakukan pada tabel kontingensi dengan 3 baris dan 5 kolom (tidak termasuk total). Berapa derajat kebebasan df uji tersebut?

3 × 5
df =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9357

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg

Standarkan

z = (148,2 − 144)/2,771 = 1,52

Peluang

P = Φ(1,52) = 0,9357

Jawaban

P = 0,9357
2.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9868

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Standarkan

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Peluang

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Jawaban

P = 0,9868
3.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,774 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 14, t = 1,761

Margin galat

E = 1,761·6,1/√15 = 2,774

Jawaban

E = 2,774 mmHg
4.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1083

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082

Bulatkan ke atas

n = 1083

Jawaban

n = 1083
5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 0,9155

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(4²/40 + 17²/30) = √10,03 = 3,168

Statistik uji

z = (134 − 131,1)/3,168 = 0,9155

Jawaban

z = 0,9155

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 3,062

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporsi sampel

p̂₁ = 30/100 = 0,3
p̂₂ = 30/200 = 0,15
p̂ = 60/300 = 0,2

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,2·0,8·(1/100 + 1/200)) = 0,04899

Statistik uji

z = (0,3 − 0,15)/0,04899 = 3,062

Jawaban

z = 3,062

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9911

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 698 − 30·96/5 = 122
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2222 − 96²/5 = 378,8

Koefisien korelasi

r = 122/√(40·378,8) = 0,9911

Jawaban

r = 0,9911
8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −1,667

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 562/6 = 93,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 370

Garis regresi

b = 370/70 = 5,286
a = 93,67 − 5,286·22 = −22,62
ŷ = −22,62 + 5,286·x

Nilai prediksi

ŷ = −22,62 + 5,286·22 = 93,67

Residu

e = 92 − 93,67 = −1,667

Jawaban

e = −1,667

Titik terletak di bawah garis.

9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: E = 21,26

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

E = 104·37/181 = 21,26

Jawaban

E = 21,26
10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: df = 8

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Derajat kebebasan

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

Jawaban

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference