Statistika 2: Inferensi Statistik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Uji chi-kuadrat

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soal latihan

1.Distribusi normalSedang
1020 kg1103 kgT = X₁ + … + X₁₂?

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 12 di antaranya melebihi 1103 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1103 kg
P =
2.Distribusi normalSulit
0,02 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
3.Selang kepercayaanSedang
n = 11, s = 9,5L = ?Ux̄ = 117,5E95%

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 117,5 dan simpangan baku s = 9,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 117,5s = 9,595%t(10) = 2,228
batas bawah =
4.Selang kepercayaanSulit
n = 16Lσ = ?s = 2,795%

Diameter 16 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 2,7 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 15, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 6,262 dan 2,5% berada di atas 27,488.

n = 16s = 2,7 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
5.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,2282,228t = ?df = 10

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 6 siswa, rata-rata nilai 87, simpangan baku 11. Kelompok 2: 6 siswa, rata-rata nilai 99,2, simpangan baku 9. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 6x̄₁ = 87s₁ = 11n₂ = 6x̄₂ = 99,2s₂ = 9
t =
6.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0,01βσ = 13, kuasa 80%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 4 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 13. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,01kuasa = 80%δ = 4σ = 13zα = 2,326zβ = 0,842
n =
7.Regresi linear & korelasiSedang
xy3315437459561158xy51030405060

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5
r² =
8.Regresi linear & korelasiSulit
xy352565771980118613103xy5106080100ŷ = 77

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 77?

n = 6ŷ = 77
x =
9.Uji chi-kuadratSedang
tanpa cacatcacat ringancacat beratTotalshift siang27113270shift malam36243595Total633567165

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “shift malam, cacat berat”.

total baris = 95total kolom = 67N = 165
E =
10.Uji chi-kuadratSulit

Uji kecocokan chi-kuadrat membandingkan frekuensi teramati dalam 6 kategori dengan proporsi harapan yang sepenuhnya ditentukan (tidak ada parameter yang diestimasi dari data). Berapa derajat kebebasan df uji tersebut?

k = 6
df =

3Larutan

1.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,02275

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg

Standarkan

z = (1103 − 1020)/41,57 = 2

Peluang

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Jawaban

P = 0,02275
2.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8665

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Standarkan

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Peluang

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Jawaban

P = 0,8665
3.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 111,1

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margin galat

E = 2,228·9,5/√11 = 6,382

Selang

117,5 ± 6,382 → [111,1, 123,9]

Jawaban

batas bawah = 111,1
4.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 4,179 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 15·2,7² = 109,4

Batas untuk σ²

109,4/27,488 = 3,978
109,4/6,262 = 17,46

Batas untuk σ

σ = √17,46 = 4,179 µm

Jawaban

σ = 4,179 µm

Selang 95% untuk σ: [1,995, 4,179] µm.

5.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,103

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

sp² = (5·11² + 5·9²)/10 = 101
sp = 10,05

Galat baku

SE = 10,05·√(1/6 + 1/6) = 5,802

Statistik uji

t = (87 − 99,2)/5,802 = −2,103

Jawaban

t = −2,103

Dengan df = 10, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,228; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.

6.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 107

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2,326 + 0,842)·13/4)² = 106

Bulatkan ke atas

n = 107

Jawaban

n = 107
7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9407

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 233/5 = 46,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134
Syy = Σ(y − ȳ)² = 477,2

Koefisien determinasi

r² = 134²/(40·477,2) = 0,9407

Jawaban

r² = 0,9407

Sekitar 94,07% variasi y dijelaskan oleh garis.

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 8,178

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 457/6 = 76,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 327

Garis regresi

b = 327/70 = 4,671
a = 76,17 − 4,671·8 = 38,8
ŷ = 38,8 + 4,671·x

Selesaikan untuk x

x = (77 − 38,8)/4,671 = 8,178

Jawaban

x = 8,178
9.Uji chi-kuadrat

Jawaban: E = 38,58

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

E = 95·67/165 = 38,58

Jawaban

E = 38,58
10.Uji chi-kuadrat

Jawaban: df = 5

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Derajat kebebasan

df = 6 − 1 = 5

Jawaban

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference